Teorema de Chebysev

• En cualquier conjunto de observaciones (muestra o población), la proporción de valores que se encuentran a k desviaciones estándares de la media es de por lo menos 1 - 1/k^2,

• Siendo k cualquier constante mayor que 1.

​La regla empírica

• ​En cualquier distribución de frecuencias simétrica con forma de campana, aproximadamente 68% de las observaciones se encontrarán entre más y menos una desviación estándar de la media, cerca del 95% de las observaciones se encontrarán entre más y menos dos desviaciones estándares de la media y, de hecho todas (99.7%), estarán entre más y menos tres desviaciones estándares de la media.

Cuartiles, deciles, percentiles

​Cuartiles, deciles, percentiles

Para formalizar el proceso de cálculo suponga que L_p representa la ubicación de cierto percentil que se busca. De esta manera si quiere encontrar el trigésimo tercer percentil, utilizaría L₃₃ y si buscará la mediana el percentil 50 entonces L₅₀.

El número de observaciones es n así que si desea localizar la mediana de su posición se encuentra en (n +1)/ 2 o podría escribir esta expresión como (n+1) (P/100) en la que P representa el percentil que busca

​Ejemplo

​Las comisiones que ganó el último mes una muestra de 15 corredores de bolsa en la oficina de California

son USD$ 2,038 USD$ 1,758 USD$ 1,721 USD$ 1,637 USD$ 2,097 USD$ 2,047 USD$ 2,205 USD$ 1,787 USD$ 2,287 USD$ 1,940 USD$ 2,311 USD$ 2,054 USD$ 2,406 USD$ 1,471  USD$ 1,460

Localice la mediana el primer y el tercer cuartil de las comisiones ganadas.

​Solución

​1. Ordena los datos de la mínima comissión a la máxima.

​2. El valor mediano es la observación que se encuentra en el centro. L₅₀ se localiza en (n+1)(50/100), en la que n representa el número de observaciones.

​3. Es la posición número 8 determinada por (15+1) (50/100)

​4. La octava comisión más grande es de $2038, y la mitad ganan menos de $2038

​5. Para localizar el primer cuartil: donde n=15 y P=25

​ L₂₅ = (n+1) P/100

​ = (15+1) 25/100

​ =4

​para localizar el tercer cuartil n=15 y P=75

​L₇₅ =(n+1) P/100

= (15+1) 75/100

​ = 12

​Los valores del primer y tercer cuartiles se localizan en las posiciones 4 y 12.

​El cuarto valor en la serie ordenada es $1721 y el décimo segundo es $2205. Estos constituyen el primer y tercer cuartiles.

​Diagramas de cajas

Un diagrama de caja es la representación gráfica, basada en cuartiles, que ayude a exhibir un conjunto de datos.

Para construir un diagrama de caja sólo necesita cinco estadísticos:  el valor mínimo Q₁ que es el primer cuartil,  la mediana, Q₃ que es el tercer cuartil y el valor máximo.

​Sesgo

​2.

​1.