A háromszögek nevezetes vonalai I.

​A szakaszfelező-merőleges a sík két pontjától egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

​

​Tétel: A háromszög három oldalfelező-merőlegese egy pontban metszi egymást.

​
Bizonyítás:

Legyen az AB és BC oldalak felezőmerőlegeseinek
metszéspontja K.
K rajta van az AB oldal felezőmerőlegesén: KA=KB
K rajta van a BC oldal felezőmerőlegesén: KB = KC
Tehát KA=KB=KC, vagyis a K pont egyenlő távol található az A és C pontoktól is. Így a K pont rajta van az AC oldal felezőmerőlegesén is.

Az oldalfelező-merőlegesek metszéspontja ​a háromszög csúcsaitól egyenlő távolságra található.
A háromszög csúcsai egy körvonalra illeszkednek. Ez a kör a háromszög köré írható kör (körülírt kör).

A háromszög oldalai a körülírt kör húrjai.

​

​A körülírt kör középpontjának helye

​

Hegyesszögű Δ:
a háromszög belsejében

​

Derékszögű Δ:
az átfogó felezőpontjában

​

Tompaszögű Δ:
a háromszögön kívül

​

​A szögfelező a sík két metsző egyenesétől egyenlő távolságra lévő pontok halmaza.

​

​Tétel: A háromszög három belső szögfelezője egy pontban metszi egymást.

​
Bizonyítás:

Legyen az A és B csúcsnál lévő szögek belső
szögfelezőinek metszéspontja K.
K rajta van a BAC szög belső szögfelezőjén: d(K;AB)=d(K;AC)
K rajta van az ABC szög belső szögfelezőjén: d(K;AB)=d(K;BC)
Tehát d(K;AB)=d(K;AC)=d(K;BC), vagyis a K pont egyenlő távol található a BC és AC száraktól is. Így a K pont rajta van a BCA szög belső szögfelezőjén is.

​A belső szögfelezők metszéspontja egyenlő távol található a háromszög oldalegyeneseitől.
Az oldalegyeneseken található merőlegesek talppontjai egy körvonalra illeszkednek. Ez a kör a háromszögbe írható kör (beírt kör).

​

​A háromszög oldalai a beírt kör érintői.

Tulajdonságok:

1. A kör érintője merőleges az
érintési pontba húzott sugárra.


2. Egy körhöz egy külső pontból
két érintő húzható.


3. A külső pontból húzott
érintőszakaszok hossza egyenlő.

​