transformasi

MODUL
PENGEMBANGAN KEPROFESIAN BERKELANJUTAN

MATA PELAJARAN
MATEMATIKA
SEKOLAH MENENGAH PERTAMA (SMP)

TERINTEGRASI PENGUATAN PENDIDIKAN KARAKTER
DAN PENGEMBANGAN SOAL


KELOMPOK KOMPETENSI G

PROFESIONAL:
GEOMETRI 2

Penulis:
AL Krismanto, M.Sc, kristemulawak@yahoo.co.id
Drs. Murdanu, M.Pd., danubengkel@yahoo.co.id
Marfuah, S.Si., M.T, marfuah@p4tkmatematika.org
Hanan Windro Sasongko, S.Si., M.Pd., hananwindro@gmail.com

Penelaah:
Dr. Abdurrahman As’ari, M.Pd., M.A., abdur.rahman.fmipa@um.ac.id
Dr. Sumardyono, M.Pd., matematikasejak2014@gmail.com

Desain Grafis dan Ilustrasi:
Tim Desain Grafis



Copyright © 2017
Direktorat Pembinaan Guru Pendidikan Dasar
Direktorat Jenderal Guru dan Tenaga Kependidikan
Kementerian Pendidikan dan Kebudayaan

Hak Cipta Dilindungi Undang-Undang
Dilarang mengcopy sebagian atau keseluruhan isi buku ini untuk kepentingan komersial

tanpa izin tertulis dari Kementerian Pendidikan Kebudayaan

13

Matematika SMP KK G

Kegiatan Pembelajaran 1

Transformasi Geometri

A.Tujuan

Setelah mempelajari, melakukan aktivitas, dan mengerjakan tugas dalam modul ini

baik secara mandiri maupun kelompok, Anda diharapkan mampu mengidentifikasi

macam transformasi geometri pada suatu pernyataan geometris dengan memahami

konsep transformasi geometris yang berkaitan dengan simetri dan transformasi

yang mencakup refleksi (pencerminan), translasi (pergeseran), rotasi (perputaran),

dan dilatasi (perkalian; perkalian bangun), dan menerapkan prinsip-prinsip

transformasi dalam memecahkan permasalahan nyata.

B.Indikator Pencapaian Kompetensi

Setelah membaca dan mengikuti serangkaian kegiatan pada bagian ini, pembaca

diharapkan mampu:

1.menjelaskan jenis dan sifat transformasi bidang

2.menjelaskan dan menentukan simetri kaitannya dengan transformasi

3.menerapkan prinsip-prinsip transformasi (dilatasi, translasi, pencerminan,

rotasi) dalam menyelesaikan permasalahan nyata.

C.Uraian Materi

1.Pengertian Transformasi

Menurut Kamus Besar Bahasa Indonesia salah satu arti transformasi adalah

perubahan rupa (bentuk, sifat, fungsi, dan sebagainya). Dalam biologi, transformasi

dapat berupa metamorphosis, misalnya siklus perubahan bentuk dan penampilan

dari telur menjadi kupu-kupu.

14

Kegiatan Pembelajaran 1

Gambar 4. Contoh transformasi di alam

Dalam matematika, misalnya The Concise Oxford Dictionary of Mathematics

menuliskan “Let S be the set of points in the plane. A transformation of the plane is a

*one-to-one mapping from S to S” (Clapham & Nicholson, 1996). Dengan kata lain,

transformasi bidang adalah suatu pemetaan satu-satu pada sebuah bidang.

Khususnya dalam geometri datar, transformasi dapat berupa pergeseran,

perputaran, pencerminan, perkalian bangun dan beberapa jenis perubahan lainnya

yang tidak dibahas di sini.

Ketika kereta api melintasi jembatan lurus, setiap bagian bahkan setiap titik yang

ada di kereta api berpindah dengan jarak dan arah yang sama. Pemindahan itu

dilakukan dengan arah dan jarak tertentu. Ini merupakan suatu jenis transformasi

yang disebut translasi atau pergeseran.

Selain “perubahan letak” ke arah lurus, ada yang dikenal sebagai rotasi

(perputaran), misalnya berputarnya baling-baling pada pesawat terbang yang

berputar pada porosnya (pusat rotasi). Setiap bagian baling-baling berputar ke arah

sama dan setiap kali menempuh sudut putar yang sama besar. Demikian pula pada

saat kita bercermin (dengan cermin datar). Akan selalu ditemukan bahwa setiap

bagian (titik) pada bayangan atau bangun hasil dan bagian (titik) asalnya

berkorespondensi satu-satu. Artinya, bayangan suatu titik hanya berasal dari

sebuah titik tertentu. Demikian pula sebuah titik tertentu menghasilkan hanya

sebuah titik tertentu sebagai bayangannya. Pemetaan bijektif demikian merupakan

transformasi yang disebut pencerminan (refleksi). Di samping itu ketika seseorang

memperbesar atau memperkecil foto, maka disitulah terjadi transformasi yang

dikenal dengan dilatasi.

15

Matematika SMP KK G

2.Pergeseran (Translasi)

a.Pengertian Translasi

Pergeseran atau translasi terjadi jika setiap titik pada bidang datar “berpindah”

dengan jarak dan arah tertentu. Dengan demikian, setiap bangun yang terletak

pada bidang itu juga digeser dengan jarak dan arah tertentu.

Gambar 5. Translasi

Dapat dikatakan pula bahwa translasi adalah pemetaan satu-satu pada sebuah

bidang dengan sifat bahwa untuk setiap titik T pada bidang tersebut jarak dan

arah dari titik asal T ke titik hasilnya (T′) sama.

Pada Gambar 5:

'
11TT║'
22TT║
'
33TT
║

'
44TT…

dan T1 T1′ = T2 T2′ = T3 T3′ = T4 T4′ = …

Translasi adalah transformasi isometri. Dalam translasi, bangun hasil kongruen

(sama dan sebangun) dengan bangun asal. Semua garis yang sejajar dengan

arah translasi invarian (tidak terpengaruh, tidak berubah) terhadap translasi.

b.Translasi dalam bidang koordinat

Perhatikan gambar berikut ini!

Gambar 6. Translasi

T1

T2

T3

T4

T4′

T1′

T2′

T3′

T1

T2

T3

T4

T5

T6

T7

T8

T9

T10

16

Kegiatan Pembelajaran 1

Gambar 6 menunjukkan T1, T2, T3, … T10, ruas-ruas garis berarah yang mewakili

atau menggambarkan geseran atau translasi yang sama besarnya yaitu 5

satuan, dengan arah yang tidak semuanya sama.

Jika sebuah titik A(x, y) ditranslasikan dengan G = �𝒂
𝒃�, maka titik hasilnya

adalah titik A′(x + a, y + b)

Atau dilambangkan dengan A(x, y)
𝐺=�𝑎
𝑏�
�⎯⎯⎯�A′(x + a, y + b). Lihat Gambar 7!

Gambar 7. Translasi A ke A’
Contoh:

Jajargenjang PQRS dengan P(0, 2),

Q(1, 4), R(−2, 4), dan S(−3, 2)

ditranslasikan

dengan

G= �6
2� .

Hasilnya ialah jajargenjang dengan

P′(6, 4),

Q′(7, 6),

R′(4, 6)

dan

S’(3, 4).

Gambar 8. Translasi jajargenjang

Dapat dilihat bahwa:

Titik hasil (6, 4) berasal dari

(0 +6, 2 + 2)

(7, 6) berasal dari

(1 +6, 4 + 2)

(4, 6) berasal dari

(−2 +6, 4 + 2)

(3, 4) berasal dari

(−3 +6, 2 + 2)

Y

X

O

a

b

x

x

y

x + a

�𝑎
𝑏�

A(x, y)

A′(x+a, y+b)

y + b

P′(6, 4)

P(0, 2)

Q(1, 4)

R(−2, 4)

S(−3, 2)

Q′(7, 6)

R′(4, 6)

S′(3, 4)

Y

O

17

Matematika SMP KK G

c.Dua Translasi Berurutan

Jika terdapat dua translasi yang berurutan G1 = �𝑎
𝑏� dilanjutkan dengan G2 = �𝑐
𝑑�,

maka komposisi kedua translasi dapat diwakili oleh sebuah translasi baru

G =�𝑎 + 𝑐
𝑏 + 𝑑�.

Gambar 9. Translasi berurutan

Contoh.

Diketahui translasi G1 = �−3
4 � dan translasi G2 = �7
3�. Translasi G1 dilanjutkan

dengan G2 dilambangkan dengan G2 o G1.

G2 o G1 = �−3 + 7
4 + 3 � = �4
7�

Hasil translasi titik A(2, −2) oleh G = G2 o G1 dapat diperoleh dari (G2 o G1)(A)

atau G(A).

(G2 o G1)(A) = (G2 (G1 (A)) = G2 (2 + (−3), −2 + 4)

= G2 (−1 , 2) …………………….. = G2 (B)

= (−1 + 7 , 2 + 3)

= (6, 5) ………………………….titik C

atau secara langsung:

G(A) = (2 + 4, − 2 + 7)

= (6, 5)

�𝑎

𝑏�

�𝑐
𝑑�

.b

.a

.b+d

.c

.d

.a + c

Y

X

O

A(2, −2)

B(−1, 2)

C(6, 5)

�−3

4�

�7
3�

�4
7�

18

Kegiatan Pembelajaran 1

d.Translasi dalam kehidupan sehari-hari

Penerbangan dengan pesawat penumpang dalam cuaca bagus sepanjang

kecepatan yang stabil (dengan idealisasi pesawat tidak melakukan perubahan

arah dan ketinggian) merupakan salah satu contoh translasi dari semua titik

dalam pesawat tersebut. Translasi juga banyak dijumpai antara lain dalam karya

budaya Indonesia, misalnya batik dan ukir-ukiran. Banyak bangun-bangun

pembentuk kain batik dan ukiran diperoleh secara translasi.

Contoh:

Gambar 10. Contoh Terapan Translasi

3.Perputaran (Rotasi)

a.Pengertian Rotasi

Rotasi atau perputaran pada sebuah bidang datar ditentukan oleh:

titik pusat rotasi

arah rotasi

besar sudut rotasi.

Arah putaran searah dengan arah putar jarum jam disepakati sebagai arah

negatif, sedangkan yang berlawanan dengan arah putar jarum jam adalah arah

putar positif.

Rotasi sebesar α terhadap titik P adalah pemetaan yang memetakan titik T pada

sebuah bidang dengan titik T′ pada bidang tersebut, sehingga untuk setiap titik

T dan titik hasil atau bayangannya (T′) berlaku m∠TPT′ = α.

19

Matematika SMP KK G

Gambar 11(i) menunjukkan putaran satu titik T berpusat di titik P sebesar

α. PT′= PT. Gambar 11(ii) menunjukkan putaran sebuah bangun datar berpusat

di titik P sebesar α. PA′= PA dan α. PB′= PB; m∠APA′= m∠ DPD′ = α.

Gambar 11. Rotasi

b.Sifat Rotasi

Berikut beberapa sifat rotasi.

1)Rotasi merupakan transformasi isometri.

2)Rotasi satu putaran penuh ekuivalen dengan transformasi identitas.

3)Jika garis rotasinya sebesar αmaka kedua garis membentuk sudutα.

4)Pusat putaran adalah titik invarian (titik tetap, tidak bergerak) terhadap

putaran.

5)Semua lingkaran berpusat di pusat putaran invarian terhadap putaran.

6)Putaran sebesar α dilanjutkan dengan putaran sebesar β dengan pusat P.

ekuivalen dengan putaran sebesar α + β terhadap P.

Gambar 12. Rotasi 2 Kali Berurutan

c.Putaran dengan Sudut Khusus

Putaran bersudut n× 360o (n bilangan cacah) adalah suatu transformasi

identitas. Semua titik pada bangun asal dipetakan ke dirinya sendiri.

(i)

P

α

T

T′

α

α

P

A

B

C

D

A′

B′

C′

D′

(ii)

P•

C

B

A

β

α

α+ β

20

Kegiatan Pembelajaran 1

Putaran bersudut putar 90o, 180o, 270o, dan 360o berturut-turut biasa disebut

dengan seperempat putaran, setengah putaran, tiga perempat putaran, dan satu

putaran penuh.

d.Simetri Putar

Suatu gambar atau bangun datar dikatakan memiliki simetri putar mengelilingi

titik O jika gambar atau bangun datar itu diputar mengelilingi O dengan sudut

positif tertentu kurang dari 360° dapat tepat menempati posisinya semula.

Pusat putaran tersebut dinamakan pusat simetri putar bangun tersebut.

Jika oleh suatu putaran suatu bangun dapat n kali (n ≥ 2, n bilangan asli) dapat

menempati bangun semula, bangun demikian dikatakan memiliki simetri putar

tingkat n.

Gambar 13. Rotasi dan Simetri Putar

Jika segitiga KLM pada Gambar 13(i) diputar kurang dari 360° dengan pusat

lingkaran luarnya sebagai pusat perputaran, maka segitiga itu tidak pernah

menempati posisi seperti posisi tersebut kecuali saat berada di posisi

semula. Berarti segitiga itu tidak memiliki simetri putar. Persegipanjang

ABCD pada Gambar 13(ii) dan Gambar 13(iii) menunjukkan dua posisi yang

sama jika diputar kurang dari 360° yaitu pada posisi awal (Gambar 13(ii)) dan

ketika putarannya 180° (Gambar 13(iii)). Dikatakan bahwa persegipanjang

memiliki simetri putar tingkat 2.

Segi-n beraturan mempunyai simetri putar tingkat n. Pusat simetri putarnya

yaitu pusat lingkaran luar dan sekaligus pusat lingkaran dalam segi-n beraturan

tersebut).

(ii)

(i)

K

L

M

C

A

D

B

P

A

C

B

D

(iii)

P

21

Matematika SMP KK G

Contoh:

Segitiga samasisi, segi-4 beraturan (persegi), segi-5 beraturan, dan segi-6

beraturan pada Gambar 14(i) - (iv), simetri putarnya berturut-turut tingkat 3, 4,

5, dan 6.

Gambar 14. Bangun-bangun Datar yang Memiliki Simetri Putar

e.Rotasi pada Bidang Koordinat

Pada modul ini, rotasi pada bidang koordinat hanya disajikan yang pusat

rotasinya titik asal (O) saja dan sudut-sudut khusus, karena dengan sembarang

sudut diperlukan trigonometri.

Rumus hubungan koordinat titik hasil dan titik semula, dengan pusat

perputaran titik asal koordinat (O)

PerhatikanGambar 15 di bawah ini!

Gambar 15. Rotasi pada Koordinat

(i)

(ii)

(iii)

(iv)

22

Kegiatan Pembelajaran 1

Diperoleh hasil sebagai berikut.

1)Sudut putar 90o, maka x′ = – y dan y′ = x

2)Sudut putar – 90o atau 270o

Jika pusat putarannya O(0, 0), maka: x′ = y dan y′ = –x

3)Sudut putar 180o; maka x′ = – x dan

y′ = – y

Untuk setiap titik T(x, y) yang dirotasikan dari titik (a, b) dengan sudut putar

180° atau dilambangkan R(a,b),180°diperoleh hasil:

x′ = –x + 2a⇔x′ + x = 2a dan y′ = –y + 2b⇔ y′ + y = 2b.

Karena (a, b) adalah pusat rotasi dan ternyata bahwa (a, b) =





+′+′
22
,yyxx

,

maka hal ini menunjukkan bahwa setiap titik dan bayangannya simetris terhadap

pusat rotasi setengah putaran.Karena itu, rotasi setengah putaran sering disebut

juga sebagai pencerminan terhadap sebuah titik.

Jika di dalam sebuah bangun ada titik P sehingga untuk setiap titik T pada

bangun itu ada titik lain T′ sedemikian sehingga titik P merupakan titik tengah

'TT maka bangun itu dikatakan memiliki simetri titik. Titik P disebut titik

simetri. Persegi dan belah ketupat adalah contoh bangun yang memiliki simetri

titik.

Jadi, dengan memilih αo sama dengan sudut-sudut khusus, diperoleh antara lain

bahwa koordinat bayangan hasil rotasi titik A(x, y) terhadap titik O adalah

sebagai berikut:

i.RO,90° : A(x, y)→A′(–y, x)

ii.RO,180° : A(x, y)→A′(–x, – y)

iii.RO, 270° : A(x, y)→A′(y, – x)

Contoh 1:

Tentukan koordinat titik hasilnya jika T(4, −2) diputar: (i) 90°, (ii) 180°, dan

(iii) 270°.

23

Matematika SMP KK G

Jawab:

i.RO,90 : A(x, y)→A′(–y, x) maka (4, −2)→A′(−(−2), 4) atau A′(2, 4)

ii.RO,180 : A(x, y)→A′(–x, – y) maka (4, −2)→A′(−(4),−(−2)) atau A′(−4, 2)

iii.RO, 270 : A(x, y)→A′(y, – x)` maka (4, −2)→A′((−2),−(4)) atau A′(−2, −4)

Contoh 2

Bayangan ∆ABC oleh suatu rotasi adalah ∆A′B′C′dengan A′(−2, 3), B′(3,− 2), dan

C′(2, 5). Jika koordinat titik A adalah (3, 2), tentukan koordinat titik B dan C!

Jawab:

A(3, 2) ↔A′(−2, 3). Secara umum T(x, y)↔T′(−y, x). Rotasinya RO,90°. Untuk

memperoleh titik semula harus “diputar balik”, yaitu RO,−90°yang ekuivalen

dengan RO,270°: P′(x, y)→P(y, – x), sehingga B′(3,− 2) →B(−2, −3) dan C′(2, 5).

→C(5, −2)

Jadi koordinat adalah B (−2, −3) dan koordinat C adalah (5, −2).

4.Pencerminan ( Refleksi)

a.Pengertian

Refleksi atau pencerminan ditentukan oleh adanya sebuah cermin (sumbu

pencerminan).

Pencerminan sebuah bangun pada bidang

datar terhadap garis (cermin) c adalah

pemetaan

sedemikian

sehingga

untuk

setiap titik T pada bangun pada bidang

tersebut ada sebuah titik T′ di pihak lain

dari cermin tersebut yang memenuhi jarak

T ke c sama dengan jarak T′ ke c.

Gambar 16. Pencerminan

d1

d1

d2

d2

d3

d3

A

B

C

A′

B′

C′

c

24

Kegiatan Pembelajaran 1

b.Sifat pencerminan

Untuk setiap titik T pada bangun asal dan bayangannya yaitu T′, d

melambangkan

jarak,

dan madalah

sumbu

pencerminan,

diperoleh

hubungannya dTke m = dT′ ke m .

Bangun asal dan bangun hasil terletak simetris terhadap sumbu pencerminan.

Setiap titik pada cermin invarian (tidak berubah) oleh adanya pencerminan.

Setiap garis yang tegak lurus cermin invarian terhadap pencerminan.

Pencerminan bersifat isometris (berukuran tetap/sama). Bangun hasil

(bayangan) kongruen dengan bangun asalnya.

Pencerminan merupakan transformasi “pembalikan” bidang. Orientasi bangun

asal dan bangun hasilnya saling berlawanan. Perhatikan urutan ABC-nya pada

Gambar 16 di atas!

c.Komposisi Refleksi

Dua refleksi atau lebih dapat dikomposisikan. Refleksi terhadap cermin c1

dilanjutkan dengan refleksi terhadap cermin c2 yang dikenakan pada suatu titik

T dapat dilambangkan dengan (c2 ○ c1)(T). Mungkin c2║c1, tetapi mungkin juga

c2 dan c1 berpotongan membentuk sudut tertentu misalnya α.

1)Komposisi refleksi terhadap c2 ○ c1dengan c2║c1

Suatu pencerminan terhadap sumbu m1 dilanjutkan dengan pencerminan

terhadap c2 yang berjarak d dari c1dapat digambarkan sebagai berikut.

Gambar 17. Pencerminan Dua Kali dengan Sumbu Sejajar

Gambar 17 menunjukkan “gambar wajah” paling kiri dicerminkan terhadap c1

dan bayangannya pada gambar tengah dicerminkan lagi terhadap cermin c2 yang

sejajar c1. Jarak antara kedua cermin d.

c1

c2

a

a

b

b

d

25

Matematika SMP KK G

2)Komposisi refleksi terhadap c2 ○ c1dengan c2 dan c1 berpotongan di P.

Komposisi refleksi titik A terhadap c2 ○ c1 hasilnya sebagai berikut.

Gambar 18. Pencerminan Dua Kali dengan Sumbu Berpotongan

Titik A dicerminkan terhadap c1 menghasilkan titik A1.

∆ABP ≅∆A1BP , karena

AB = A1B (sifat pencerminan)

m∠ABP = m∠A1BP (siku-siku)

BP = BP (sekutu)

Akibatnya: m∠APB = m∠ A1PB. Namakan α1 ........................(1)

Juga: AP = A1P ...…………...................(2)

Titik A1 dicerminkan terhadap c2 menghasilkan titik A2. ∆A1CP ≅∆A2CP karena

A1C = A2C (sifat pencerminan)

m∠ A1CP = m∠ A2CP (siku-siku)

CP = BP (sekutu)

Akibatnya: m∠A1PC = m∠A2PC. Namakan α2 ........................(3)

Juga: A1P = A2P ...................................……………........ (4)

Dari (1) dan (3): m∠BPC = m∠ A1PB + m∠A1PC = α1 + α2

m∠APA2 = m∠APB + m∠ A1PB + m∠A1PC + m∠A2PC

= α1 + α1 + α2 + α2 = 2(α1 + α2)

Dari (2) dan (4): AP = A1P dan A1P = A2P.

P

A

A1

A2

c1

.c2

α1

α2

α2

α1

B

C

26

Kegiatan Pembelajaran 1

Berarti AP = A1P = A2P atau A, A1,dan A2 terletak pada satu lingkaran berpusat

di P.

Jadi, pencerminan berturut-turut terhadap dua sumbu yang berpotongan

dengan sudut αdi titik P ekuivalen dengan suatu putaran berpusat di titikP

dengan sudut putar sebesar 2α dengan arah putar sesuai dari cermin

pertama (c1) ke cermin kedua (c2).

d.Sumbu Simetri dan Simetri Sumbu

Jika pada sebuah bangun datar ada garis yang letaknya sedemikian sehingga

bagian bangun yang satu di satu pihak dan bagian lain di pihak lainnya simetris

terhadap garis tersebut, maka garis tersebut dinamakan sumbu simetri bangun

datar tersebut. Sifat simetri bangunnya adalah simetri sumbu.

Dalam biologi sering terjadi simetrinya “tidak sempurna” seperti yang

terdefinisi secara matematis, namun kesimetriannya masih diterima dalam

pandangan keseharian seperti gambar berikut.

Gambar 19. Contoh Simetri di Alam

Setiap segi-n beraturan memiliki n buah sumbu simetri. Semua sumbu simetri

segi-n beraturan berpotongan pada sebuah titik yang merupakan pusat

lingkaran luar dan pusat lingkaran dalam segi-n beraturan tersebut.

Gambar 20. Sumbu Simetri pada Polygon Beraturan

27

Matematika SMP KK G

Jika sebuah gambar atau bangun datar mempunyai sumbu simetri s maka

dengan melipat gambar itu sepanjang s, kedua bagian sebelah-menyebelah s

akan saling menutup karena kedua bagian bangun kongruen. Karena itu, simetri

sumbu juga dikenal sebagai simetri lipat.

e.Pencerminan dalam Bidang Koordinat

Sebarang garis dapat digunakan sebagai sumbu pencerminan. Namun untuk

kemiringan yang sudutnya tidak khusus, untuk membahasnya memerlukan

trigonometri. Karena itu, yang dibahas di sini hanya sumbu-sumbu khusus yaitu

sumbu koordinat, garis bagi kuadran I-III yang persamaannya y = x, garis bagi

kuadran II-IV yang persamaannya y = −x, dan garis-garis yang sejajar sumbu-X

serta garis-garis sejajar sumbu-Y.

Gambar 21. Pencerminan di Bidang Koordinat

Gambar 21(i):

CX = Refleksi terhadap sumbu-X :

A(x, y) →A′(x, –y)

atau

A(x, y)
𝐶𝑋��A’(x, –y)

CY= Refleksi terhadap sumbu-Y :

A(x, y) →A′(–x, y)

atau

A(x, y)
𝐶𝑌��A’(–x, y)

Gambar 21(ii):

Cy=x = Refleksi terhadap garis y = x: A(x, y) →A′(y, x)

atau

A(x, y)
𝐶𝑦=𝑥�⎯�A’(y, x)

Cy=–x= Refleksi terhadap garis y = – x : A(x, y) →A′( –y, –x)

atau

A(x, y)𝐶𝑦=−𝑥�⎯⎯�A’(−y, −x)

A(x, y)

A′(x, – y)

A′′(–x, y)

Y

X

O

(i)

(ii)

(iii)

A(x, y)

X

Y

O

A′(y, x)

A′′(–y,– x)

A′(x, 2h– y)

A′′((2 v –x, y)

y = h

A′(x, y)

x = v

X

Y

O

X

Y

O

A′′((2 v –x, y)

v –x v –x

h –y
h –y

y = x

y = −x

28

Kegiatan Pembelajaran 1

Gambar 21(iii):

Refleksi terhadap garis y = h; h∈R: A(x, y) →A′(x, 2h –y)

atau

A(x, y)𝐶𝑦=ℎ�⎯⎯�A’(x, 2h− y)

Refleksi terhadap garis x = v; v∈R: A(x, y) →A′(2v –x, y)

atau

A(x, y)𝐶𝑥=𝑣�⎯�A’(2v− x, y)

Catatan: Pencerminan yang dilambangkan dengan A(x, y)
𝐶𝑦=𝑥�⎯�A’(y, x) sering juga

dilambangkan dengan A(x, y)
𝑀𝑦=𝑥�⎯⎯�A’(y, x). (C = Cermin, M = Mirror).

Demikian juga yang serupa dengan itu.

Contoh.

Tentukan titik hasil pencerminan titik (5, 6) terhadap:

(i) sumbu X (ii) garis y = x (iii) garis x = 3

(iv) garis y = 2

Jawab:

(i) CX : (x, y) → (x, –y), maka (5, 6) → (5, − 6)

(ii) Cy = x : (x, y) → (x, –y), maka (5, 6) → (6, 5)

(iii) Cx = v : (x, y) → (2v −x, y), maka (5, 6) →(2 × 3 − 5, 6) atau (1, 6)

(iv) Cy = h : (x, y) → (x. 2h− y), maka (4, 5) → (5, 2 × 2 − 6) atau (5, −2)

5.Dilatasi

a.Pengertian

Diketahui sebuah titik P pada sebuah bidang datar H dan sebuah bilangan real k

(k≠0). Bangun hasildilatasi titik A pada bidang H adalah titik A′ pada

↔
PA

sedemikian sehingga P, A, dan A’ kolinear (segaris) dengan PA′ = |k| ×PA.

Titik P dinamakan pusat dilatasi dan k dinamakan faktor dilatasi. Dilatasi

dengan pusat dilatasi P dan faktor skala k dilambangkan dengan [P, k].

29

Matematika SMP KK G

Gambar 22. Dilatasi

Jika k < 0, maka titik P′ pada

→
AP (terhadap P, titik A dan A′ berlainan pihak)

Jika k > 0, maka titik P′ pada

→
PA (terhadap P, titik A dan A′ sepihak)

Untuk k = 1, maka dilatasinya merupakan transformasi identitas. Bangun hasil

adalah juga bangun asalnya.

Pada Gambar 22 di atas, PA′ = 3 PA, PB′ = 3 PB, dan PC’ = 3 PC. Faktor skala = 3.

Adapun PA′′, PB′′, dan PC′′ berturut-turut panjangnya 2PA, 2PB, dan 2PC, namun

terhadap pusat dilatasi bayangan berada di pihak lain dari bangun asalnya.

Faktor skalanya adalah –2.

Bangun A′B′C′ adalah bangun hasil dilatasi [P, 3] dari ABC;

→
'PA = 3

→
PA

Bangun A′′B′′C′′ adalah bangun hasil dilatasi [P, –2] dari ABC; '

→
PA = –2

→
PA

Dalam praktik, untuk memperbesar atau memperkecil gambar digunakan

pantograph seperti gambar berikut

Gambar 23. Pantograph

A′

P

B

A

C

C′

B′

A′′

C′′

B′′

30

Kegiatan Pembelajaran 1

b.Sifat Dilatasi

Berikut ini beberapa sifat dilatasi.

1)Dilatasi adalah transformasi similaritas (kesebangunan). Bangun hasil

sebangun bangun asal. Setiap ruas garis bangun hasil sejajar dengan bangun

asalnya.

2)Semua garis melalui pusat dilatasi invarian terhadap sebarang dilatasi (k≠0).

3)Dilatasi tidak mengubah orientasi (arah).

4)Jika |k | > 1, bangun hasil diperbesar dari ukuran semula; jika | k | < 1 bangun

hasilnya diperkecil.

Dengan diperbesar atau diperkecilnya bangun hasil dari bangun asalnya

menunjukkan bahwa dilatasi bukan transformasi isometri.

c.Dilatasi Dalam Bidang Koordinat

Pada Gambar 24 ditunjukkan DO,k: titik A(x, y) →A′(kx, ky). Keterangannya dapat

dinyatakan dengan koordinat titik-titik sudut bangun hasil dibandingkan dengan

koordinat titik-titik sudut bangun asalnya.

Titik Asal

k = 3

k = −2

A(2, 0)

A′(6, 0)

A′′(−4, 0)

B(5, −2)

B′(15, −6)

B′′(−10, 4)

C(5, 1)

C′(15, 3)

C′′(−10, −2)

D(4, 2)

D′(12, 6)

D′′(−8, −4)

Gambar 24. Dilatasi Bangun ABCD

Y

O

X

A

B

C

D

D′

C′

B′

A′

A′′

B′′

C′′

D′′

31

Matematika SMP KK G

Dalam pembelajaran transformasi, nilai-nilai karakter positif dapat disisipkan

dalam pembelajaran. Misalnya siswa dapat dilatih konsisten dalam penamaan

titik, contohnya titik A ditranslasikan menjadi A’ sehingga siswa tidak

kebingungan. Nilai karakter mencintai budaya dapat pula dikembangkan dengan

memberikan contoh-contoh menggunakan batik motif daerah tertentu,

bangunan candi, dan sebagainya. Juga nilai religius dapat ditanamkan dengan

menghargai karya ciptaan Tuhan misalnya bentuk simetris dari kupu-kupu.

Masih banyak nilai-nilai karakter lainnya yang dapat dikembangkan melalui

pembelajaran transformasi geometri ini.

D.Aktivitas Pembelajaran

Pelajarilah uraian materi dengan seksama dan diskusikan Lembar kegiatan berikut

secara kelompok (3 – 5 orang)! Apabila ada masalah diskusikanlah dengan rekan

sejawat!

Aktivitas 1.1.

LEMBAR KEGIATAN (LK) 1.1.

(TRANSFORMASI GEOMETRI)

Tujuan:
menerapkan prinsip-prinsip
transformasi refleksi, translasi, rotasi,
serta dilatasi dalam memecahkan
permasalahan nyata

Identitas/Kode Kelompok:
......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
......... ......... ......... ......... ......... ......... .........

1.Carilah penggunaan istilah transformasi di luar matematika! Berikan contohnya

masing-masing yang terkait dengan translasi, refleksi, rotasi, dan dilatasi!

32

Kegiatan Pembelajaran 1

2.Carilah gambar-gambar dari motif-motif batik atau ukiran atau hasil budaya

Indonesia lainnya yang memuat translasi!

3.Kumpulan “6 ekor burung” pada gambar pertama di bawah ini menunjukkan

suatu pengubinan. Tak ada celah di antara keenam “burung”.

a.Apakah yang Anda ketahui tentang sifat simetri Gambar (i)?

Apakah setiap 6 gambar burung yang kongruen selalu dapat disusun

seperti gambar pertama? Jelaskan!

b.Gambar (ii) adalah pengubinan menggunakan gambar pertama

(diperkecil). Untuk gambar kedua sebagai satu bangun, berikan

penjelasan tentang sifat simetrinya dan selidiki adakah transformasi

lain selain rotasi!

(i)

(ii)

33

Matematika SMP KK G

4.Banyak makhluk hidup yang jika diambil gambarnya dengan arah tertentu

hasilnya adalah gambar yang memiliki simetri sumbu. Pada gambar berikut,

kupu-kupu dan motif batik juga memiliki sifat dimilikinya simetri sumbu.

Kumpulkan paling sedikit 5 (lima) gambar berbeda dari makhluk hidup yang

gambarnya memiliki sifat adanya simetri sumbu.

5.Pada kertas berpetak, gambarlah sebuah bangun datar. Pilih sebuah titik di

dalam bangun itu sebagai pusat dilatasi dan dilatasikan gambar itu dengan

faktor skala ½ , 2, dan 3!

34

Kegiatan Pembelajaran 1

Aktivitas 1.2.

LEMBAR KEGIATAN (LK) 1.2.

(PENYUSUNAN SOAL PENILAIAN BERBASIS KELAS)

Tujuan:
mampu menyusun soal penilaian
berbasis kelas bagi siswa untuk
mengembangkan HOTS (Higher Order
Thinking Skills) terkait materi
Transformasi Geometri berdasarkan
Kisi-kisi pada lampiran

Identitas/Kode Kelompok:
......... ......... ......... ......... ......... ......... .........
......... ......... ......... ......... ......... ......... .........

1.Bacalah bahan bacaan berupa Modul Pengembangan Penilaian di Modul

Penilaian 2 dan Pemanfaatan Media untuk Profesionalisme Guru, Kelompok

Kompetensi H (Pedagogik)!

2.Pelajari kisi-kisi yang dikeluarkan oleh Kementerian Pendidikan dan

Kebudayaan seperti pada lampiran!

3.Berdasarkan kisi-kisi tersebut, secara mandiri, kembangkanlah tiga (3) soal

pilihan ganda dan tiga (3) soal uraian yang bertipe soal HOTS pada lingkup

materi yang dipelajari pada modul ini sesuai format kartu soal berikut!

KARTU SOAL

Jenjang

: Sekolah Menengah Pertama

Mata Pelajaran

: Matematika

Kelas

:
Materi

: Transformasi Geometri
Kompetensi Dasar

:
Indikator Soal

:

Level

: Pengetahuan dan Pemahaman/Aplikasi/Penalaran *)

Bentuk Soal

: Pilihan Ganda/Uraian *)

BAGIAN SOAL DI SINI



Kunci Jawaban/Rubrik Penilaian *)

:

*) coret yang tidak perlu

35

Matematika SMP KK G

E.Latihan/Kasus/Tugas

1.Periksalah transformasi apa yang memetakan bangun satu ke lainnya dari yang

berikut ini!

a.A ke B

e. E ke F

b.B ke C

f. A ke C

c.C ke D

g. B ke D

d.D ke E

h. F ke A

2.Gambarlah segitiga ABC dan bayangannya jika diketahui titik sudutnya adalah

titik-titik A(5, −1), B(−3, 2), dan C(−2, −1) oleh translasi

−





3

2

3.Titik (12,−6) adalah peta (a, b) oleh pergeseran

−





8

10. Tentukan a + b.

4.Oleh geseran G titik (2,−5) dipetakan ke titik (−1, 8). Tentukanlah peta titik

(5, −7) oleh G!

5.Tentukan hasil transformasi berikut:

a.rotasi 90° titik (–2, 3) mengelilingi titik O(0, 0)

b.rotasi 270° titik (–2, 3) mengelilingi titik O(0, 0).

6.Oleh suatu rotasi berpusat di O(0, 0), titik (3,−4) dipetakan ke titik (4, 3).

Tentukan bayangan (–2, 5) oleh rotasi itu!

7.Oleh suatu rotasi sebesar α rad berpusat di O(0, 0), titik (3, 4) dipetakan ke titik

(−4,3). Manakah titik hasil (−2, 5) oleh rotasi sebesar (π +α) rad?

8.Tentukan hasil transformasi berikut:

a.titik A (5, −4) direfleksikan terhadap garis x = 2

b.titik A (−4, 5) direfleksikan terhadap garis y = 3

c.titik A (−1, 4) direfleksikan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap

garis x = 6

d.titik A (−1, 4) direfleksikan terhadap garis x = 2 dilanjutkan terhadap

garis y = 3.

E

F

X

Y

O

36

Kegiatan Pembelajaran 1

9.Tentukan persamaan garis hasil pencerminan garis 2x + y− 4 = 0 terhadap

sumbu X!

10.Titik A′(6, −12) adalah titik hasil dilatasi pada O dari titik A(−3, 6). Tentukanlah

bayangan titik B(−1, 2) dan C(4, −3) oleh dilatasi tersebut!

F.Rangkuman

Transformasi geometris dapat mengubah posisi setiap titik suatu objek geometris

dengan memindah (translasi), mencerminkan (refleksi), memutar (rotasi), atau

memperkecil/memperbesar (dilatasi). Posisi setiap titik pada objek hasil

transformasi dapat dianalisis menggunakan koordinat, yaitu dengan meletakkan

objek dan gerakannya pada bidang koordinat. Translasi, refleksi, dan rotasi tidak

mengubah ukuran dan bentuk objek (kongruen), sementara dilatasi tidak mengubah

bentuk tetapi mengubah ukuran (sebangun). Translasi dan dilatasi positif tidak

mengubah arah pada objek geometri.

G.Umpan Balik dan Tindak Lanjut

Periksalah pemahaman Anda dengan materi yang disajikan dalam modul ini, serta

hasil pengerjaan aktivitas pembelajaran dan latihan/tugas dengan kunci jawaban.

Untuk membantu dalam mengevaluasi hasil pengerjaan aktivitas pembelajaran,

berikut petunjuk pengerjaannya.

Pada LK 1.1. nomor 1, 2, dan 4, Anda dapat menghubungkan transformasi dengan

kehidupan sehari-hari. Selain itu, Anda dapat memperkaya informasi dari internet.

Pada LK 1.1. nomor 3(i), Anda dapat mencermati Gambar 8 pada uraian materi dan

menyimpulkan apakah setiap bangun yang kongruen jika dirotasikan selalu dapat

disusun seperti Gambar 8(i). Adakah syarat agar bangun yang kongruen selalu dapat

disusun seperti Gambar 8(i)? Untuk nomor 3(ii), Anda dapat melihat gambar

kumpulan burung secara satu kesatuan atau satu persatu.

37

Matematika SMP KK G

Pada LK 1.1. nomor 5, Anda dapat menjelaskannya secara geometris sekaligus

secara aljabar untuk memudahkan penyelesaiannya! Gunakan DO,k: A(x, y) →A′(kx,

ky) dengan k adalah faktor skala!

Adapun untuk mengerjakan aktivitas 1.2., Anda diminta terlebih dahulu

mempelajari Modul Pengembangan Penilaian di Modul Penilaian 2 dan Pemanfaatan

Media untuk Profesionalisme Guru, Kelompok Kompetensi H (Pedagogik) terkait

pengembangan soal HOTS dan mencermati kisi-kisi pada lampiran terkait lingkup

kompetensi terkait transformasi geometri.

Jika Anda dapat memahami sebagian besar materi dan dapat menjawab sebagian

besar latihan/tugas, maka Anda dapat dianggap menguasai kompetensi yang

diharapkan. Namun jika tidak atau Anda merasa masih belum optimal, silakan

pelajari kembali dan diskusikan dengan teman sejawat untuk memantapkan

pemahaman dan memperoleh kompetensi yang diharapkan. Setelah Anda telah

dapat menguasai kompetensi pada kegiatan pembelajaran ini, silakan lanjut pada

kegiatan pembelajaran berikutnya.

38

Kegiatan Pembelajaran 1