

Sustitución
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Andrea Moreira
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1
Sustitución
En esta clase aprenderemos el método de sustitución.
∫f(u)⋅u´(x)dx=∫f(u)du
2
Calentamiento...
Primero unas preguntas de lo que hemos visto antes.
3
Multiple Choice
¿Cuál es la antiderivada?
∫x2dxx3+C
2x+C
21x3+C
31x3+C
4
Multiple Choice
¿Cuál es la antiderivada?
sen(x)+C
−sen(x)+C
cos2(x)+C
21cos2(x)+C
5
Multiple Choice
∫(x2+1)dx=31x3+x+C
Verdadero
Falso
6
Multiple Choice
∫(x2+1)2dx=31(x2+1)3+C
Verdadero
Falso
7
Integrales de productos y potencias de funciones:
Para resolver
∫(x2+1)2dx debemos primero distribuir la potencia cuadrada:∫(x2+1)2dx=∫x4+2x+1dx
8
..y ahora sí, podemos integrar cada término de la suma:
∫x4+2x+1dx=51x5+x2+x+C
9
¿Pero qué pasa con potencias más altas?
...¿O con funciones más complicadas?
∫3x2(x3−6)15dx
∫2x2x3+4dx
∫3x2sec2(x3+1)dx
10
La regla de sustitución
En los ejemplos anteriores, la integral contiene un producto de funciones y uno de los factores es una función compuesta.
11
Míralos bien....
∫2x2x3+4dx
∫3x2sec2(x3+1)dx
12
Multiple Choice
¿Cuál es la función compuesta en
∫3x2(x3−6)15dx? 3x2
x3−6
(x3−6)15
13
Multiple Choice
¿Cuál es la función compuesta en
∫3x2sec2(x3+1)dx?3x2
[sec(x3+1)]2
14
La regla de sustitución
Cuando una de las funciones del producto es la derivada de la función "interna" de la compuesta, es decir, si la integral es de la forma:
∫f(u)⋅u´(x)dx
Entonces, sustituimos la función interna por u , y du=u´(x)dx para obtener:
∫f(u)⋅u´(x)dx=∫f(u)du
15
Ejemplo 1:
∫2x(x3−6)15dx
Tenemos: u=x3−6, du=3x2dx y entonces:
∫3x2(x3−6)15dx=∫u15du=161u16+C
∫3x2(x3−6)15dx=161(x3−6)16+C
16
Ejemplo 2:
La función compuesta es: x3+4 .
Hagamos esto juntos...
17
Multiple Choice
Si la función compuesta es
x3+4 , entonces:u=x3+4
u=x3+4
u=2x2
u=x3
18
Multiple Select
Usemos u=x3+4 . Entonces:
(selecciona todo lo correcto)
32du=2x2dx
du=(x3+4)dx
du=3x2dx
du=2x2
19
Multiple Select
Usando u=x3+4 y 32du=2x2dx ,
la integral
∫2x2x3+4 dx se convierte en:
∫2x2u du
∫ 32u du
∫3u du
32∫ u21du
20
Multiple Choice
Finalmente, nuestra integral ∫2x2 x3+4 dx es igal a:
32u23+C
94(x3+4)23+C
94u23+C
21
Verificación:
Para comprobar nuestro resultado, deriva
94 (x3+4)23+C
22
Último ejemplo
Hazlo tú:
∫3x2sec2(x3+1)dxLa respuesta es...
23
..la respuesta es:
tan(x3+1)+C
Sustitución
En esta clase aprenderemos el método de sustitución.
∫f(u)⋅u´(x)dx=∫f(u)du
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