Trojúhelník ABC

​Známe jeden úhel a dvě strany... jak dopočítáme 3. stranu?

Představte si zadání příkladu, ve kterém známe délky stran a,b
a velikost úhlu, který svírají.

Jak budeme postupovat, když bude mít známý úhel velikost 90°?

Obecný trojúhelník ABC

Co budeme dělat, když trojúhelník nebude pravoúhlý?

Pro zjednodušení problému uvažujme pouze trojúhelník ostroúhlý.

Dokážeme nějak využít Pythagorovu větu i tak? Můžeme v ostroúhlém trojúhelníku najít pravoúhlý? Jak?

https://www.geogebra.org/m/jraee64d

Co ještě platí v pravoúhlém trojúhelníku?

Když známe velikost ještě jednoho úhlu...

V pravoúhlém trojúhelníku umíme dopočítat délky stran i v případě, že známe pouze délku jedné strany a velikost jednoho (nepravého) úhlu.

Jak se nazývají funkce, které můžeme pro výpočet použít?

Nápověda: přilehlá ---- protilehlá ---- přepona --------> podíl

Nyní jsme připraveni!

​Již známe všechny potřebné nástroje
k vyjádření a dopočítání strany a

Znáte:
- velikosti stran b,c a velikost úhlu α
- Pythagorovu větu: a² = v² + (c - u)²
- goniometrické funkce

a² = v² + (c - u)²

Pokud se nám podaří vyjádřit v a u pomocí známých hodnot, získáme tím vyjádření délky strany a, které hledáme.

​Použijte goniometrické funkce a vzniklé pravoúhlé trojúhelníky k vyjádření výšky v a strany u pomocí b,c a α.

Už máme téměř hotovo!

​Dosaďte vyjádřené hodnoty do a² = v² + (c - u)²

v = b · sin α
u = b · cos α

a² = (b · sin α)² + (c - b · cos α)²

Pozorně si prohlédněte uvedené vzorce pro goniometrické funkce. Znalost jednoho z nich budete potřebovat pro další úpravu naší rovnice.

Finální tvar

​Rovnici jsme upravili do tvaru

a² = b² + c² - 2bc · cos α

​a tím jsme získali kosinovou větu!

Kosinová věta

​Má tři různé podoby

a² = b² + c² - 2bc · cos α
b² = a² + c² - 2ac · cos β
c² = a² + b² - 2ab · cos γ

Hurá do praxe!

Vyzkoušejte si použít kosinovou větu při řešení příkladů

Zadání příkladů i s teorií naleznete například zde:
https://is.muni.cz/do/rect/el/estud/prif/ps23/metodika_matematiky/web/pages/04_09_trigonometrie.html

Zdroje
https://is.muni.cz/do/rect/el/estud/prif/ps23/metodika_matematiky/web/pages/04_09_trigonometrie.html
https://cs.wikipedia.org/wiki/Kosinov%C3%A1_v%C4%9Bta
https://www.umimeto.org/asset/system/um/img/rules/ilustrace-trojuhelnik-znaceni.png
https://www.e-matematika.cz/stredni-skoly/obr/goniometricke-vzorce.gif