Ecuaciones de primer grado

Recuerda que una ECUACIÓN es una IGUALDAD ALGEBRAICA que solo se cumple para ciertos valores de las letras que contiene.

A las letras se les llama INCÓGNITAS de la ecuación y RESOLVER LA ECUACIÓN es encontrar los valores que deben tomar esas letras para que la igualdad se cumpla.

A esos valores se les llama SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN.

En la mayoría de las ocasiones es imposible encontrar "a ojo" la solución de una ecuación. Sin embargo, no es algo difícil, al ser mecánico.

Vamos a empezar por resolver ecuaciones de primer grado sencillas, sin paréntesis ni denominadores.

La idea es DESPEJAR LA x, es decir, aislarla y dejarla sola en un miembro. Para ello vamos a agrupar en uno de los miembros todos los términos que llevan la incógnita y en el otro los que no, usando la TRANSPOSICIÓN DE TÉRMINOS, que en la práctica se traduce en...

• Si un término está sumando en un miembro, pasa al otro miembro restando.

• Si un término está restando en un miembro, pasa al otro miembro sumando.

• Lo que en un miembro aparece multiplicando, pasa al otro miembro dividiendo.

• Lo que en un miembro aparece dividiendo, pasa al otro multiplicando.

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¿cómo se resuelven ecuaciones de primer grado con paréntesis?

debemos recordar la PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:

la multiplicación de un número por una suma (resta) es igual a la suma (resta) de las multiplicaciones de dicho número por cada uno de los sumandos (minuendo y sustraendo, en el caso de la resta):

• POR ESA RAZÓN:

• si delante de un paréntesis no hay ningún número, el paréntesis se quita sin más (en realidad estamos multiplicando por 1)

• si delante de un paréntesis no hay un signo negativo, para quitar el paréntesis cambiamos de signo todos los términos que contiene (en realidad estamos multiplicando por -1)

para resolver una ecuación con paréntesis, primero quitaremos los paréntesis utilizando la propiedad distributiva hasta convertir la ecuación en una ecuación de primer grado sencilla que resolveremos.

• 5 . 2x - 5 . 1 + 3 . x - 3 . 2 = 10 . x + 10 . 1 =

• 10x - 5 + 3x - 6 = 10x + 10

• 10x + 3x - 10x = 10 + 5 + 6

• 3x = 21

• x = 21/3

• x = 7

• Recuerda que siempre podemos comprobar si la solución es la correcta:

• 
  

  5 . (2.7 - 1) + 3 . (7 - 2) = 5. (14 - 1) + 3.5 = 5.13 + 15 = 65 + 15 = 80

• null

• 10 . (7 + 1) = 10 . 8 = 80

• null

• Al sustituir la x por 7 ambos lados de la igualdad dan el mismo resultado. Eso quiere decir que, efectivamente, x = 7 es la solución de esa ecuación.

La máxima complejidad que pueda presentar una ecuación de primer grado consiste en que tenga denominadores. Vamos a ver de forma muy práctica cómo resolver en ese caso.

¡¡Arrancamos con un ejemplo!!

Antes de empezar a resolver, vamos a prepararnos para no equivocarnos 

a) poniendo 1 en el denominador donde no lo haya 

y 

b) metiendo entre paréntesis los numeradores formados por sumas o restas

Cuando lo hayamos hecho, calcularemos el mínimo común múltiplo de los denominadores con el fin de reducir a común denominador:

terminamos resolviendo la ecuación de primer grado sencilla que nos queda: transponemos términos y despejamos