LKS materi induksi matematika pada keterbagian

Contoh 1

Buktikan bahwa 7n − 1 habis dibagi 6.

Langkah dasar.

P(1) benar untuk n=1 karena 7n –1= 71 - 1=6 habis dibagi 6

Langkah induktif

Sebagai hipotesis induktif, asumsikan bahwa P(k) benar untuk n = k, yaitu dengan mengasumsikan bahwa (7k – 1) habis dibagi 6 untuk
sebarang bilangan asli k. Sehingga P(k) dapat dinyatakan sebagai 7k – 1 = 6c untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan
asumsi bahwa 𝑃(𝑘) benar, maka 𝑃(𝑘 + 1) untuk n=k+1, yaitu pernyataan bahwa 7k+1− 1 habis dibagi 6, juga benar. Harus ditunjukkan
bahwa 7k+1 − 1 habis dibagi 6.

Perhatikan bahwa 7k+1− 1 = 7k 7 - 1

= 7k (6 + 1 ) -1

= 7k 6 + 7k - 1

= 7k 6 + 6c

= 6( 7k + c)

Jelas bahwa ruas kanan 6( 7k + c) merupakan kelipatan 6. Jadi P(k + 1) benar. Langkah induktif selesai. Karena langkah dasar dan
langkah induktif dipenuhi, menurut prinsip induksi matematika terbukti bahwa 7 n − 1 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli 𝑛

Contoh 2

Buktikan dengan induksi matematika bahwa 𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli 𝑛.

Jawab:

Untuk sebarang bilangan bulat positif n, misalkan P(n) adalah pernyataan 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛. Langkah dasar. 𝑃(1) benar
karena 𝑛2 + 𝑛 = 12 + 1 = 2 = 2 ∙ 1. Sehingga 2 adalah faktor dari 𝑛2 + 𝑛 untuk 𝑛 = 1.

Langkah induktif. asumsikan bahwa P(k) benar, yaitu dengan mengasumsikan bahwa 2 adalah faktor dari 𝑘2 + 𝑘 atau dapat
dinyatakan dengan 𝑘2 + 𝑘 = 2𝑐 untuk sebarang bilangan asli c. Selanjutnya dengan asumsi bahwa P(k) benar, maka P(k + 1), yaitu
pernyataan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1), juga benar. Harus ditunjukkan bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1) 2 + (𝑘 + 1).

Perhatikan bahwa (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1) = 𝑘2 + 2𝑘 + 1 + 𝑘 + 1

= (𝑘2 + 𝑘) + (2𝑘 + 2)

= (𝑘2 + 𝑘) + 2(𝑘 + 1)

= 2𝑐 + 2(𝑘 + 1)

= 2(𝑐 + 𝑘 + 1)

Dari baris terakhir, karena bentuk (𝑐 + 𝑘 + 1) adalah bilangan bulat, maka jelas bahwa 2 adalah faktor dari (𝑘 + 1)2 + (𝑘 + 1). Jadi P(k
+ 1) benar. Langkah induktif selesai. Karena langkah dasar dan langkah induktif sudah dapat diselesaikan, menurut prinsip induksi
matematika terbukti bahwa 𝑛2 + 𝑛 habis dibagi 2 untuk sebarang bilangan asli n

Tugas

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan kebenaran pernyataan berikut!

1.

𝑛3 − 𝑛 + 3 habis dibagi 3 untuk sebarang bilangan asli n.

2.

8n − 3n habis dibagi 5 untuk sebarang bilangan asli n.

3.

𝑛3 − 𝑛 habis dibagi 6 untuk sebarang bilangan asli n.

Oleh: AISYATUL FATIMAH, S.Pd

SELAMAT BEKERJA