TUJUAN .

Jika garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 sembarang dan L adalah lingkaran dengan jari-jari r, maka ada tiga kedudukan garis terhadap lingkaran L sebagaimana ditunjukkan pada gambar berikut.

Dengan menggunakan pendekatan konstektual yang dikembangkan melalui proses pembelajaran dikelas. Peserta didik diharapkan dapat menentukan kedudukan garis terhadap lingkaran dan menyelesaikan masalah yang terkait dengan kedudukan garis terhadap lingkaran dengan baik dan tepat.

Langkah-langkah menentukan kedudukan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 terhadap lingkaran L sebagai berikut:

a. Substitusi y dari persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke persamaan lingkaran L.

b. Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel x (bentuk 𝑎𝑥 2 + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0).

c. Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus 𝐷 = 𝑏² −

4𝑎𝑐.

d. Periksa tanda diskriminan D dengan kriteria:

​• Jika D > 0 maka garis memotong lingkaran

pada dua titik.

• Jika D = 0 maka garis menyinggung lingkaran

(ada satu titik potong)

• Jika D < 0 maka garis tidak memiliki titik

potong dengan lingkaran.

Pengertian Kedudukan Garis Terhadap Lingkaran

Substitusikan y = –x + 2 ke persamaan lingkaran, sehingga diperoleh:

x² + (–x + 2)² – 4x + 2(–x + 2) – 20 = 0

==> x² + x² – 4x + 4 – 4x – 2x + 4 – 20 = 0

==> x² + x² – 4x – 4x – 2x + 4 + 4 – 20 = 0

==> 2x² – 10x – 12 = 0

2x² – 10x – 12 = 0

2

==> x² – 5x – 6 = 0

Susun persamaan kuadrat sekutu dalam variabel x (bentuk 𝑎𝑥² + 𝑏𝑥 + 𝑐 = 0)

Tentukan kedudukan garis x + y – 2 = 0 terhadap lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0

Garis memotong lingkaran pada dua titik atau D > 0

Contoh Soal

Diket.

Kedudukan garis x + y – 2 = 0

Persamaan Lingkaran x² + y² – 4x + 2y – 20 = 0

Penyelesaian

Ubah ke garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛

Garis x + y – 2 = 0 => y = –x + 2

Substitusi y dari persamaan garis 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑛 ke persamaan lingkaran L.

Hitung nilai diskriminan persamaan kuadrat sekutu dengan rumus 𝐷 = 𝑏² − 4𝑎𝑐.

Diperoleh nilai a = 1, b = −5, dan c = −6.

D = b² – 4ac

= (−5)² – 4(1) (−6)

= 25 + 24

= 49 > 0

Karena nilai D > 0, maka garis x + y – 2 = 0 memotong lingkaran pada dua titik.

Untuk menentukan titik potong antara garis dan lingkaran, maka kita memfaktorkan persamaan kuadrat sekutu sebagai berikut.

x² – 5x – 6 = 0 (x + 1)(x – 6) = 0

==> x + 1 = 0 atau x – 6 = 0

==> x = –1 atau x = 6

Selanjutnya, substitusi nilai x = –1 dan x = 6 ke persamaan garis y = –x + 2.

untuk x = –1 ==> y = –x + 2 = –(–1) + 2 = 3

untuk x = 6 ==> y = –x + 2 = –(6) + 2 = –4

sehingga diperoleh titik potong antara garis dan lingkaran pada titik (–1, 3) dan titik (6, –4).