symmetrisch

positiv definit

bilinear symmetrisch

nicht ausgeartet

bilinear symmetrisch

positiv definit

bilinear

symmetrisch

positiv definit

nicht ausgeartet

$$s$$  nicht ausgeartet

$$V$$  heißt euklidischer VR

$$F_B\left(s\right)$$  positiv definit, symmetrisch, aber i.A. nicht invertierbar

Alle Eigenwerte von $$F_B\left(s\right)$$  sind $$>0$$  

$$<x,y>$$    $$\le<x,x>^2\cdot<y,y>^2$$   

$$<x,y>^2=$$   $$<x,x>\cdot<y,y>$$   $$\Longleftrightarrow$$   

$$x,y$$  linear abhängig

$$<x,y>^2=$$   $$<x,x>\cdot<y,y>$$   $$\Longleftrightarrow$$   

$$x,y$$  linear unabhängig

$$<x,y>^2\ \le$$    $$<x,x>\cdot<y,y>$$   

$$\forall\alpha\in\text{IR}:\$$   $$\left|\alpha v\right|\ =\ \left|\alpha\right|\ \cdot\left|v\right|$$  

$$\left|v\right|\ =\ 0\$$   $$\Leftrightarrow$$   $$v\ =\ 0$$  

$$\left|v\right|+\left|w\right|\ \le\left|v+w\right|$$  

$$\left|v\right|\ >\ 0$$  

$$\left|x\right|\ :=\sqrt{<x,x>}$$  ist Norm

Für $$V\ =\ \text{IR}^n:$$   $$<x,y>\ :=\ \sum_{i=1}^nx_iy_i$$  ist Skalarprodukt

$$\left|x\right|\ =\sqrt{x_1^2+\dots+x_n^2}$$  ist von $$<x,y>$$  wie in (2) induziert (d.h. $$\left|x\right|\ =\ \sqrt{<x,\ x>}$$  )

$$S^n\ :=$$   $$\left\{x\ \in\text{IR}^{n+1\ }:\ \left|x\right|=\ 1\right\}$$  mit $$\left|\cdot\right|$$   wie in (3)