Elementos del Plano_ Parte 3

La distancia entre dos elementos del plano es la mínima distancia que existe entre sus puntos.

 $d\left(P,Q\right)=\sqrt{\left(q_1-p_1\right)^2+\left(q_2-p_2\right)^2}$  

La distancia entre un punto y una recta estará relacionada con la perpendicular a esta que pase por el punto: d(P,r)=d(P,H) donde H es el pie de la perpendicular de P sobre r.

 $d\left(P,r\right)=\frac{\left|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$  

Dos rectas son paralelas si tienen vectores directores con la misma dirección. También en ellas se cumple que las pendientes son iguales.

 $d\left(P,r\right)=\frac{\left|A\cdot p_1+B\cdot p_2+C\right|}{\sqrt{A^2+B^2}}$  

Un lugar geométrico es un conjunto de puntos que cumplen una determinada propiedad geométrica. Ejemplo, si trazamos la perpendicular a un segmento AB que pasa por su punto medio, puedes comprobar con un compas que todos sus puntos están a la misma distancia de A y B. Esta recta es la mediatriz.

La mediatriz es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de los extremos del segmento.

Método 1: Igualamos la expresión de las distancias entre los extremos del segmento y un punto cualquiera.

Método 2: Hallemos la ecuación de la recta perpendicular a AB que pase por su punto medio.

Dado un ángulo cualquiera, la recta bisectriz que lo divide en dos ángulos iguales es la bisectriz.

La bisectriz de un ángulo es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas que determinan el ángulo.

Método 1: Igualar la expresión de las distancias entre un punto, el plano y las rectas que determinan el ángulo.

Método 2: Las bisectrices pasan por el punto de intersección entre las rectas que definen los ángulos, y sus vectores directores son la suma y la resta respectivamente de los vectores unitarios de la misma dirección que dichas rectas.