OLIMATH NIVEL UPPER

Para una circunferencia con centro en O y radio R = 5cm, se ha trazado una recta secante que pasa por los puntos AB y que interseca al diámetro en un punto C. Si se tiene que $$\angle ACO\ =\frac{\pi}{4}$$ $$¿Cuál\ es\ el\ valor\ de\left(\overline{AC}\right)^2+\left(\overline{CB}\right)^2?$$

Los lados de un triángulo rectángulo ΔABC son a y b, se cumple que en la figura ∢C=90° , BC = a y AC = b . Los puntos M, N y O son los centros del cuadrado del triángulo ΔABC con lados BC, AC y AB, respectivamente. ¿Cuál es el área del triángulo ΔMNO ?

Una región encerrada por las curvas $$x^2=4y,\ x^2+4y=0,\ x=4,\ x=-4.$$ Suponga que V₁ es el volumen del solido obtenido al hacer girar la región alrededor del eje y. Otra región consiste del conjunto de puntos (x, y) que satisfacen las expresiones $$x^2+y^2\le16,\ x^2+\left(y-2\right)^2\ge4,$$ $$además\ de\ x^2+\left(y+2\right)^2\ge4.$$ Suponga que V₂ es el volumen del solido obtenido al hacer girar la región alrededor del eje y. Respecto a los volúmenes, es válido afirmar que

Se tiene un cuadrilátero ABCD con ángulos agudos en A y C, en la figura. Los puntos E y F están en el segmento $$\overline{AC}$$ y ocurre que los segmentos $$\overline{DE\ }y\ \overline{BF}\ \perp\ \overline{AC}.$$ Si se cumple que AE=3cm, DE= 5cm CE= 7cm entonces BF=?

Para un experimento de matemáticas, el profesor tiene un cubo y en él inscribe una esfera de radio R. Luego otra esfera (más pequeña con radio r) se coloca dentro del cubo en una de sus esquinas de tal forma que es tangente a los tres lados del cubo y la esfera inscrita inicialmente como se muestra en la figura. ¿Cuál es el valor del radio de la esfera más pequeña en términos de R?

$$Sea\ w\ =\ 4+3i\ y\ sea\ z=\frac{w}{\left|w\right|}\ ,$$ para cualquier entero positivo n, siendo $$S_n=\sum_{k=1}^nz^k=z+z^2+z^3+\ldots+z^n.$$ Entonces para todo S_n se encuentra en un círculo de radio:

Para el polinomio cuya expresión está dada por $$\left(1+x\right)^{20}+x\left(1+x\right)^{19}+x^2\left(1+x\right)^{18}+\ldots+x^{18}\left(1+x\right)^2\ ,$$ El coeficiente de x¹⁸ equivale a:

En su armario, Martina tiene 10 camisetas, dos de cada cinco son de color diferente. El lunes Martina elige dos camisetas individuales al azar de las diez que tiene en el cajón. El martes, ella selecciona al azar dos de las ocho camisetas restantes y el miércoles también al azar, dos de las 6 camisetas faltantes. ¿Qué tan probable es que el miércoles sea el primer día que Martina seleccione dos camisetas del mismo color?

Camila le escribe a Sofía una carta, y no recibe respuesta. Suponiendo que una carta de cada n se pierde en el correo, ¿Qué tan probable es que Sofía haya recibido la carta?, se supone que Sofía habría contestado la carta si ella la hubiera recibido.

Sea b un número real no negativo para el cual $$f\left(x\right)=\frac{1}{b}-\frac{1}{b^x+1}$$ es una función impar ¿Cuál es el valor del rango de f(x)?