1o ΚΕΦ (Ι) Γ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ-ΟΡΙΑ

Αν $$f\left(x\right)=\ln x$$ και $$g\left(x\right)=e^{-x}$$ τότε $$\left(gof\right)\left(x\right)=\frac{1}{x},\ x\in R-\left\{0\right\}$$ .

Αν $$f\left(x\right)=\ln x$$ και $$g\left(x\right)=e^{-x}$$ τότε $$\left(fοg\right)\left(x\right)=-x\ ,\ x\in R$$ .

Αν $$\lim_{x\rightarrow1}\ \frac{f\left(x\right)}{x-1}=λ\in R$$ τότε $$\lim_{x\rightarrow1}\ f\left(x\right)=0$$ .

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow0}\left[x\left(\frac{1}{x^2+x}\right)\ \right]=\lim_{x\rightarrow0}\left(x\right)\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^2+x}\right)\ =0\cdot\lim_{x\rightarrow0}\left(\frac{1}{x^2+x}\right)=0.$$

Αν $$f\left(x\right)>1$$ , για κάθε $$x\in R$$ και υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right),$$ τότε κατ' ανάγκη $$\lim_{x\rightarrow0}f\left(x\right)>1$$ .

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(x\cdotημ\frac{1}{x}\right)=1$$

Ισχύει $$\lim_{x\rightarrow+\infty}\left(\frac{ημx}{x}\right)=1$$ .

Αν $$0\le f\left(x\right)\le1$$ κοντά στο 0, τότε $$\lim_{x\rightarrow0}\left(x^2\cdot f\left(x\right)\right)=0$$ .

Αν $$f\left(x\right)\le\frac{1}{x^2},\ x\in\left(α,+\infty\right),$$ τότε κατ΄ ανάγκη θα είναι $$\lim_{x\rightarrow+\infty}f\left(x\right)=0$$ .

Αν υπάρχει το $$\lim_{x\rightarrow6}\left(f\left(x\right)g\left(x\right)\right)$$ τότε είναι ίσο με $$f\left(6\right)\cdot g\left(6\right)$$ .