Exphys1_Quiz18

wirkt auf ein schwingendes System eine äußere Kraft

macht es keinen Unterschied, ob eine Dämpfung vorhanden ist oder nicht, da die Kraft stärker ist

wird aus der homogenen DGL der freien Schwingung eine inhomogene DGL

wird aus der linearen DGL der freien Schwingung eine nicht-lineare DGL

kann mit dem Ansatz $$x(t)=Re\left(Ae^{-λt}\right)$$ für die spezielle Lösung gelöst werden

kann mit dem Ansatz $$x(t)=Re\left(Ae^{iλt}\right)$$ für die spezielle Lösung gelöst werden

kann mit dem Ansatz $$x(t)=A\cos\left(λt+φ\right)$$ für die spezielle Lösung gelöst werden

hat die Lösung x(t) = 0

hat die allg. Lösung $$x(t)=x_{\hom}(t)+x_{spez}(t)$$ , die sich aus der Lösung für die homogene DGL und der speziellen Lösung der inhom. DGL zusammensetzt

die auch als $$|A|e^{iφ}$$  geschrieben werden kann

die den Betrag $$|A(ω)|=\frac{F_0}{m}\cdot$$ $$\frac{1}{\sqrt{(ω_0^2-ω^2)^2+(Γω)^2}}$$ hat

deren Betrag und Phasenverschiebung von der Frequenz der äußeren Kraft, aber auch der Eigenfrequenz ω₀ abhängen

deren Phase $$φ=\arctan\left(\frac{Re\left(A\right)}{Im\left(A\right)}\right)$$ ist

die auch als $$A(ω)=\frac{F_0}{m}\cdot$$    $$\frac{(ω_0^2-ω^2)+iΓω}{(ω_0^2-ω^2)^2+(Γω)^2}$$ geschrieben werden kann (Multiplikation mit dem komplex Konjugierten)

geht für kleine Frequenzen $$ω→0$$  gegen Null $$(ω≪ω_0,ω≪Γ)$$

geht für sehr große Frequenzen $$ω→∞$$  gegen Null

hat ein Maximum

kann ohne Dämpfung $$(Γ→0)$$  unendlich groß werden (Resonanzkatastrophe)

hängt mit der Güte der gedämpften Schwingung zusammen: $$Q=\frac{\left|A_{\max}\right|}{|A(ω=0)|}$$

ist immer negativ, d.h. die erzwungene Schwingung läuft der äußeren Anregung hinterher

ist Null nur wenn ω = 0

nimmt Werte zwischen 0 und -2π an

ist für ω = ω₀ nicht definiert, da man nicht durch Null dividieren kann

ist für große Frequenzen $$ω≫ω_0$$  gegenphasig (φ = - 180°)

hat die spezielle Lösung $$x(t)=$$ $$|A(ω)|\cos⁡\left(ωt+φ(ω)\right)$$

führt aufgrund der homogenen Lösung zu einem Einschwingvorgang, bevor eine stationäre Lösung (spezifische Lösung) erreicht wird

benötigt für eine eindeutige Lösung 4 Anfangsbedingungen, 2 für die spezielle und 2 für die homogene Lösung

ist im stationären Zustand abhängig von den Startbedingungen und dem Einschwingvorgang

sind Schwingungen in Ort und Zeit

→ zu jedem Zeitpunkt gibt es eine Schwingung im Ort (Momentaufnahme) und an jedem Ort gibt es eine Schwingung in der Zeit (vgl. Pendel)

treten nur in Materie auf, wo eine Kopplung zwischen schwingenden Systemen vorhanden ist, die zu erzwungenen Schwingungen führt

die Oszillatoren bewegen sich in Ausbreitungsrichtung vom Start zum Ziel

werden unterschieden in transversale und longitudinale Wellen, je nachdem ob die Auslenkung senkrecht oder in Richtung der Ausbreitung ist

für sie gilt: $$y(x,t)=$$ $$y(x+vt,t=0)$$

können mit der Funktion $$y(x,t)=y_0\sin(kx-ωt)$$ beschrieben werden

haben den Zusammenhang f=c/λ zwischen Frequenz und Wellenlänge

ist einheitenlos

ist der Betrag des Wellenvektors $$\overrightarrow{k}$$ , der die Ausbreitungsrichtung angibt (senkrecht auf den Wellenfronten)

ist $$k=\frac{2\pi}{T}$$ , wobei T die Periodendauer ist

hängt mit dem Abstand zwischen zwei Nulldurchgängen zusammen, der der Wellenlänge λ entspricht: $$k\cdotλ=\pi$$

erfüllt $$k\cdot v=ω$$ , mit Phasengeschwindigkeit v

können z.B. mit $$A(r⃗,t)=$$ $$Re\left(A_0e^{\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-ωt+φ}\right)$$ beschrieben werden

$$A\left(\overrightarrow{r},t\right)$$  kann auch ein Vektor sein z.B. das elektrische Feld $$\overrightarrow{E}$$  (bei elektromagnetischen Wellen)

der Wellenvektor $$\overrightarrow{k}$$  steht immer senkrecht auf dem Ortsvektor $$\overrightarrow{r}$$

$$A(\overrightarrow{r},t)=$$ $$A_0\cos⁡(\overrightarrow{k}\cdot\overrightarrow{r}-ωt)$$ beschreibt nur transversale Wellen

$$A\left(\overrightarrow{r},t\right)$$ kann die Amplitude, z.B. der Druck einer Schallwelle, sein