Exphys1_Quiz17

ist die Schwingung (z.B. eines Pendels) ohne Reibung/Dämpfung

ist die Schwingung (z.B. eines Pendels) mit Federkonstante Null

eines Federpendels wird durch die DGL $$F(t)=mẍ(t)$$ $$=-D\cdot x(t)$$ beschrieben

eines Drehpendels wird durch die DGL $$M(t)=Jφ̈(t)$$ $$=D̂\cdotφ̇(t)$$ beschrieben

hat dieselbe Form der DGL $$ẍ(t)+ω_0^2x(t)$$ $$=0$$ für eine lineare und eine Drehschwingung, wenn man x durch φ ersetzt

hat eine inhomogene, lineare Differentialgleichung 2. Ordnung mit zeitunabhängigen Koeffizienten

wird durch eine Linearkombination aus Sinus- und Cosinusfunktion mit charakteristischer Frequenz ω₀ beschrieben

benötigt für ihre Beschreibung nur eine Anfangsbedingung, z.B. die Auslenkung zum Zeitpunkt t₀

wirkt zusätzlich zur Federkraft eine Reibungskraft, die in der DGL auftaucht

kann die Reibungskraft nur proportional zur Geschwindigkeit sein

eines Drehpendels dämpft eine Wirbelstrombremse, deren Wirkung von der Geschwindigkeit der Drehscheibe abhängt

ist die Reibungskraft der Bewegung entgegengerichtet und wird deswegen von der Trägheitskraft abgezogen: $$mẍ(t)-kẋ(t)$$ $$=-Dx(t)$$

eines Federpendels mit Federkonstante D und Reibungskoeffizient k lautet: $$mẍ(t)=$$ $$-Dx(t)-kẋ(t)$$

hat die allgemeine Form: $$ẍ(t)+Γẋ(t)$$ $$+ω_0^2x(t)=0$$ , wobei ω₀ die Schwingungsfrequenz der ungedämpften Schwingung ist

ist homogen, linear, 1. Ordnung mit zeitunabhängigen Koeffizienten

enthält einen Reibungsfaktor (Γ), der von der Masse des Federpendels bzw. dem Trägheitsmoment des Drehpendels abhängt (indirekt proportional)

kann mit dem Ansatz $$x(t)=Ae^{-λt}$$ gelöst werden

kann mit dem Ansatz $$x(t)=Ae^{λt}$$ gelöst werden

kann mit dem Ansatz $$x(t)=A\cosωt$$ $$+B\sinωt$$ gelöst werden

führt mit geeignetem Ansatz zu einer quadratischen Gleichung, die abhängig von Γ und ω₀, genau 1, 2 reelle oder 2 imaginäre Lösungen hat

hat die Lösung $$x(t)=0$$

kann abhängig von Γ und ω₀ in 3 Fälle unterschieden werden

ist bei zu großer Dämpfung gar keine wirkliche Schwingung

ist bei zu großer Dämpfung nur x(t)=0

ist bei geringer Dämpfung eine Schwingung mit der Frequenz ω₀ der ungedämpften Schwingung und abnehmender Amplitude

ist bei geringer Dämpfung eine Schwingung mit Frequenz ω<ω₀ und gleichbleibender Amplitude

bildet sich eine sehr langsame Schwingung aus

kann die Bewegung nicht über die „Null-Auslenkung“ hinaus gehen

kann die Bewegung nicht ihre Richtung ändern

gibt es zwei reelle Lösungen, einen schnell und einen langsam (exponentiell) abfallenden Anteil

benötigt die partikuläre Lösung 2 Anfangsbedingungen

nimmt die Auslenkung für lange Zeiten exponentiell mit der Zeit ab, schneller als bei jeder überdämpften Schwingung

kann es einen „Null-Durchgang“ geben

gibt es nur eine Lösung für γ und damit nur einen durch die Anfangsbedingungen bestimmten Parameter

nimmt die Auslenkung exponentiell mit der Zeit ab, wobei die Abklingrate γ = ω₀ nur von der Federkonstante und nicht von der Dämpfung abhängt

ist der Grenzwert für $$t→∞$$  aufgrund des Terms $$B\cdot t$$  nicht Null

erhält man mit dem Ansatz $$x(t)=A\exp(λt)$$ eine komplexe Lösung, die keine physikalische Bedeutung hat

schwingt das Pendel mit der Frequenz ω₀ der ungedämpften Schwingung und die Amplitude nimmt mit der Zeit exponentiell ab

wird aufgrund der exponentiell abnehmenden Amplitude die Schwingung immer langsamer (d.h. die Periode immer länger)

ist die messbare Lösung eine Sinus- oder Cosinusschwingung, die nach einer Abklingzeit $$\tau=\frac{2}{\Gamma}$$  auf 1/e abgefallen ist

nimmt die Amplitude der Schwingung exponentiell mit der Zeit ab $$A(t)=A_0e^{-γt}$$

erhält man nur dann eine eindeutige Lösung, wenn man die Auslenkung und die Geschwindigkeit zum Zeitpunkt t=0 kennt

nimmt die Schwingungsfrequenz exponentiell mit der Zeit ab

nimmt die Schwingungsfrequenz mit zunehmender Dämpfung ab

nimmt die Schwingungsfrequenz mit zunehmender Federkonstante zu