Передбанник | 3 день: алгебра

$$\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt[]{18}}\right)^{\frac{1}{\sqrt[]{2}}}=\left(\left(\frac{1}{3}\right)^{\sqrt[]{9\cdot2}}\right)^{\frac{1}{\sqrt[]{2}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^{3\sqrt[]{2}\cdot\frac{1}{\sqrt[]{2}}}=\left(\frac{1}{3}\right)^3=\frac{1}{27}$$  

$$2^{\log_49+\log_28}=2^{\log_{2^2}3^2+\log_28}=2^{\frac{2}{2}\log_23}\cdot2^{\log_28}=3\cdot8=24$$  

Нехай $$3^x+3^{-x}=t.$$  Піднесемо обидві частини рівності до квадрата й одержимо:

$$\left(3^x+3^{-x}\right)^2=t^2$$  

$$3^{2x}+2\cdot3^x\cdot3^{-x}+3^{-2x}=t^2$$  

$$9^x+2\cdot3^0+9^{-x}=t^2$$  

$$9^x+2+9^{-x}=t^2$$  

Оскільки за умовою $$9^x+9^{-x}=47$$  , то

$$47+2=t^2$$  

$$t=\pm7$$  

Так як $$3^x+3^{-x}>0$$  , то t = 7.

Перейдемо у всіх множниках до основи 2 й одержимо:

$$\log_23\cdot\frac{\log_24}{\log_23}\cdot\frac{\log_25}{\log_24}\cdot...\cdot\frac{\log_28}{\log_27}=\log_28=3.$$  

$$27^{\log_{\sqrt[]{3}}\sqrt[6]{3}}+4\cdot5^{\left(\log_52\right)^2}-2^{\log_52}\cdot\log_216$$  

$$27^{\log_{\sqrt[]{3}}\left(\sqrt[]{3}\right)^{\frac{1}{3}}}+4\cdot\left(5^{\log_52}\right)^{\log_52}-2^{\log_52}\cdot\log_22^4$$  

$$27^{\frac{1}{3}}+4\cdot2^{\log_52}-2^{\log_52}\cdot4=\sqrt[3]{27}=3$$  

$$∣3−\sqrt{6}∣+∣\sqrt{6}−6∣=3-\sqrt[]{6}+6-\sqrt[]{6}=9-2\sqrt[]{6}$$  

$$|2,7-\pi|-|\pi-3,7|=\pi-2,7-\left(3,7-\pi\right)=\pi-2,7-3,6+\pi=2\pi-6,3$$  Якщо узяти $$\pi\approx3,14,$$  то $$2\cdot3,14-6,3=6,28-6,30=-0,03$$  , що належить проміжку [-1,5; 0).

Почнемо з розкриття вложеного модуля |x-1|=0 <=> x=1.

Підмодульна функція змінює знак в одиниці. При менших значеннях вона від'ємна, при більших – додатна. Відповідно до цього при розкритті вкладеного модуля отримаємо два рівняння з модулем:

$$x|-(x-1)-2|=3x-4;x>=1->|x-1-2|=3x-4.$$  

Обов'язково перевіряємо праву сторону рівняння з модулем, вона завжди повинна бути невід'ємною. (модуль від'ємним не буває) 3x-4>=0 -> x>=4/3.

Це означає, що перше з рівнянь немає необхідноcті розв'язувати, оcкільки його випиcано для x< 1, що не відповідає знайденій умові. Розкриємо модуль в другому рівнянні |x-3|=3x-4 -> x-3=3x-4 або x-3=4-3x; 4-3=3x-x або x+3x=4+3; 2x=1 або 4x=7; x=1/2 або x=7/4.

Отримали два значення, перше з яких відкидаємо, оскільки не належить розглядуваному інтервалу. Остаточно, рівняння має один розв'язок x=7/4.

Кут α міститься у четвертій чверті, тому $$\sin\alpha<0.$$  Обчислими $$\sin\alpha:$$  

$$\sin\alpha=-\sqrt[]{1-\cos^2\alpha}=-\sqrt[]{1-\frac{1}{5}}=-\sqrt[]{\frac{4}{5}}=-\frac{2}{\sqrt[]{5}}$$  

Знайдемо $$tg\alpha:$$  

$$tg\alpha=\frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}=-\frac{2}{\sqrt[]{5}}:\frac{1}{\sqrt[]{5}}=-\frac{2\sqrt[]{5}}{\sqrt[]{5}}=-2$$