Передбанник | 2 день: геометрія

За властивістю відрізків: MK + KT = MT.

Нехай MK дорівнює х см, тоді KT дорівнюватиме (х + 13) см. Складемо й розв'яжемо рівняння: х + х + 13 = 35. 2х = 22. х = 11.

Тоді х + 13 = 11 + 13 = 24. Отже, MK = 11 cм.

360/12 = 30° - за 1 годину між стрілками.

Тоді за 4 години: 4*30°=120°

Через кожну з даних п'яти точок можна провести чотири прямі, що проходять через кожну з інших даних точок. Загальна кількість прямих дорівнює $$\frac{5\cdot4}{2}=10$$  , оскільки кожну з прямих пораховано двічі.

За теоремою Фалеса:

$$\frac{MK}{KC}=\frac{MD}{AD}=\frac{7}{3}.$$  

Нехай МК = 7х см, тоді КС = 3х см.

MC = MK + KC

Складемо рівняння:

7x + 3x = 30

10x = 30

x = 3

Тоді КС = 3*3 = 9 см.

Розглянемо трикутник КОА. У ньому ОК = ОА = R. Тоді трикутник КОА - рівнобедрений з основою КА. Кути при основі рівні:

$$\angle OAK=\angle OKA=48\degree.$$  

Кут АОМ - зовнішній кут трикутника КОА. За теоремою про зовнішній кут:

$$\angle AOM=\angle OAK+\angle OKA=48\degree+48\degree=96\degree.$$  

Уся довжина кола:

$$\pi\cdot4=4\pi\ cм.$$  

Тоді з формули знайдемо радіус:

$$2\pi R=4\pi$$  

$$R=2\ см$$  

Нехай ∠1 = 3х, тоді ∠2 = 4х, ∠3 = 5х. За теоремою про суму кутів трикутника одержимо ∠1 + ∠2 + ∠3 = 180°. 3х + 4х + 5х = 180.

12х = 180

х = 15°.

Тоді ∠3 = 5 * 15 = 75°

Так як ВМ - медіана, то вона ділить сторону АС навпіл. Тоді AM = MC = 1 см.

Знайдемо довжину ВМ за теоремою косинусів:

$$BM=\sqrt[]{AB^2+AM^2-2\cdot AB\cdot AM\cdot\cos\angle BAM}$$  

$$BM=\sqrt[]{3+1-2\cdot\sqrt[]{3}\cdot\cos30\degree}$$  

$$BM=\sqrt[]{4-2\cdot\sqrt[]{3}\cdot\frac{\sqrt[]{3}}{2}}$$  

$$BM=\sqrt[]{4-3}=\sqrt[]{1}=1$$  

Складемо відношення відповідних сторін:

$$\frac{MC}{ND}=\frac{MK}{NA}$$  

Підставимо в одержану рівність відомі довжини сторін. Одержимо пропорцію:

$$\frac{32}{16}=\frac{MK}{10,5}$$  

$$MK=\frac{32\cdot10,5}{16}=21\ см$$  

Оскільки КВ і АЕ є бісектрисами кутів К і А, то кут ВКА дорівнює половині кута К, а кут ЕАК - половині кута А.

З трикутника ОКА отримаємо рівність:

$$\frac{1}{2}\angle K+\frac{1}{2}\angle A+\angle KOA=180\degree$$  

$$\frac{1}{2}\angle K+\frac{1}{2}\angle A=180\degree-115\degree$$  

$$\frac{1}{2}\left(\angle K+\angle A\right)=65\degree$$  

$$\angle K+\angle A=130\degree$$  

З трикутника СКА знайдемо шуканий кут:

$$\angle C=180\degree-\left(\angle K+\angle A\right)=180\degree-130\degree=50\degree$$