LÍMITE DE FUNCIONES

LIMITES DE FUNCIONES
SUBTEMAS

By Fernando Cárdenas Galarza

1. Concepto Intuitivo de Límite

   • Aproximación desde la derecha y desde la izquierda

   • Comportamiento de la función cerca de un punto

1. Notación de Límite

   • Límite cuando x tiende a un número real: lim(x → a) f(x)

   • Límite lateral: lim(x → a⁻) f(x) y lim(x → a⁺) f(x)

1. Cálculo de Límites Usando Sustitución Directa

   • Funciones polinómicas y racionales

   • Identificación de formas indeterminadas

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1. Técnicas para Resolver Límites

   • Factorización

   • Racionalización

   • Multiplicación por conjugado

   • Simplificación algebraica

1. Límites Laterales

   • Cálculo gráfico y algebraico

   • Cuando los límites laterales no coinciden

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1. Límites Inexistentes

   • Saltos en la gráfica

   • Crecimiento infinito

   • Oscilaciones

1. Límites Infinitos y al Infinito

   • lim(x → a) f(x) = ∞ o -∞

   • lim(x → ∞) f(x) y lim(x → -∞) f(x)

   • Asintotas horizontales y verticales

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1. Límites Indeterminados

   • Formas: 0/0, ∞/∞, ∞ - ∞, 0·∞

   • Resolución por simplificación y manipulación algebraica

1. Límites y Continuidad

   • Relación entre límite y continuidad

   • Funciones continuas y discontinuas en un punto

2. Aplicaciones de los Límites

   • Interpretación en fenómenos físicos (velocidad instantánea)

   • Introducción al concepto de derivada

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By Fernando Cárdenas Galarza

​Se les presenta a los estudiantes la función:

f(x)={x^2 - 1}/{x - 1}

1. Completa una tabla con los siguientes valores de xxx, evaluando f(x):

3. Análisis:

   • ¿Qué valor parece estar tomando f(x) cuando x se acerca a 1?

   • ¿Hay diferencia entre los valores por la derecha y por la izquierda?

   • ¿Existe el límite cuando x→1x \to 1x→1? ¿Por qué?

Reflexión final:

"El límite de una función no depende del valor exacto de la función en un punto, sino del comportamiento de la función al acercarse a ese punto."

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​Abrir GeoGebra o Desmos y graficar la función:

f(x)={|x - 2|}/{x - 2}​

Observar el comportamiento de la función cuando x→2 desde la derecha y desde la izquierda.

1. Responder:

   • ¿Qué valor toma la función cuando x→2^−? ¿Y cuando x→2^+?

   • ¿Existe el límite en x=2? Justifica.

Conclusión esperada:

Cuando los límites laterales no coinciden, el límite en ese punto no existe.

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By Fernando Cárdenas Galarza

​1.- Completa las siguientes oraciones con la palabra o frase correcta.
El límite de una función describe el __________ de sus valores cuando la variable independiente se acerca a un número específico.

Se dice que un límite existe si los valores de la función se acercan a __________ valor desde ambos lados del punto.
Cuando los límites laterales son distintos, el límite en ese punto __________.
2.- Escribe V si es verdadero o F si es falso. Justifica las falsas.
( ) El límite de una función siempre existe.

( ) Si los límites laterales son distintos, el límite total no existe.

( ) El valor de la función en el punto influye en el valor del límite.

( ) Si al aproximarse a un punto desde ambos lados la función se acerca al mismo valor, el límite existe.
3.- Reflexión escrita

Objetivo: Favorecer la comprensión conceptual.

Instrucciones: Escribe un párrafo donde expliques con tus propias palabras qué significa que "una función tenga límite en un punto". Usa un ejemplo propio o del cuaderno.

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Clasifica el Límite

Objetivo: Identificar el tipo de comportamiento de una función cerca de un punto.

Instrucciones: Clasifica cada caso como:

• (A) Límite existente

• (B) Límite inexistente por salto

• (C) Límite inexistente por infinito

• (D) Límite inexistente por oscilación
  f(x)={1}/{x}, ​,x→0 → ______

• f(x)= (x), x→0 → ______

• f(x) = {x^2 - 1}/{x - 1}, ​,x→1 → ______

• f(x)=sin (1/x​), x→0 → ______

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Análisis Gráfico

Objetivo: Visualizar cómo una función se comporta cerca de un punto y distinguir los límites laterales.

Instrucciones:

Observa el gráfico del siguiente sistema de función:

f(x)={x^2, si x < 1)
f(x) = (2x + 1, si x≥1​)

Responde:

• ¿Cuál es el valor de lim ⁡x→1^− ​f(x)?

• ¿Cuál es el valor de lim⁡ x→1^+ ​f(x)?

• ¿Existe lim ⁡x→1 f(x)? Justifica la respuesta