Belum Berjudul

FPB dan KPK

Konsep Habis Dibagi

• Definisi:

Jika a suatu bilangan asli dan b suatu bilangan
bulat, maka a membagi habis b (dinyatakan
dengan a|b) jika dan hanya jika ada sebuah
bilangan bulat c demikian sehingga b = ac.

• Jika a membagi b, maka dapat dikatakan bahwa :

a pembagi b
a faktor b
b kelipatan a
b habis dibagi a

Pemfaktoran prima

• Bilangan komposit dapat ditulis sebagai hasil

kali semua pembaginya yang prima.

• Ada dua metode yang umum digunakan untuk

menemukan semua faktor prima bilangan
komposit.

Pemfaktoran prima (2)

• Metode pertama adalah dengan melakukan pembagian

berulang dimulai dengan bilangan prima terkecil 2, dan
diteruskan sampai semua faktor prima yang diperoleh
terakhir tersebut

• Contoh:
• Carilah faktor prima dari 180

180 = 2.90
90 = 2.45
45 = 3.15
15 = 3.5

180 = 2.2.3.3.5

Pemfaktoran prima (3)

• Metode kedua adalah melakukan pemfaktoran

bilangan ke dalam sebarang dua faktor yang
dikenal dan kemudian memfaktorkan faktor-
faktor tersebut:

• 180 = (15) (12) = (5.3)(4.3) = (5.3)(2.2.3)

= 2.2.3.3.5

Selain kedua metode tersebut, ada cara lain

yakni dengan menggunakan pohon faktor.

Faktor Persekutuan Terbesar (FPB)

• Definisi:

Faktor persekutuan terbesar (disingkat FPB) dari
dua bilangan bulat positif, p dan q, adalah
bilangan bulat positip terbesar r demikian
sehingga r|p dan r|q.

• Dari definisi di atas, jelas bahwa FPB dari dua

bilangan bulat positif adalah bilangan bulat
terbesar yang membagi keduanya. Hal ini
dinotasikan sebagai berikut:

• r = FPB (p,q).

FPB (2)

• Cara Menentukan FPB
1. Pemfaktoran
2. Pemfaktoran Prima
3. Algoritma Euclid

FPB (3)

1.

Pemfaktoran

• Contoh dengan metode pemfaktoran, menentukan FPB dari

84, 198, dan 210.

• Kita tentukan masing-masing faktornya :
• Factors of 84

: 1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84

Faktor dari 198

: 1, 2, 3, 6, 9, 11, 18, 22, 33, 66, 99, 198

Factors of 210

: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 14, 15, 21, 30, 35,

42, 70, 105, 210

• Dari ketiga bilangan yang memiliki faktor yang sama yaitu 6.

Sehingga FPB (84, 198, 210) = 6.

• FPB (84,198) = 6
• FPB (198,210) = 6
• FPB (84, 210) = 42

FPB (4)

2. Pemfaktoran Prima
• Tulis bilangan-bilangan tersebut sebagai perkalian bilangan

prima, dan hasil perkalian bilangan prima yang merupakan faktor
persekutuan kedua bilangan tersebut adalah FPB-nya.

• Faktorisasi prima dari,

270 = 2 x 33x 5
504 = 23x 32x 7

• Dapat juga dinyatakan

270 = (2 x 32) x (3 x 5)
504 = (2 x 32) x (22x 7)

• Sehingga (2 x 32) sebagai faktor persekutuan terbesar 270 dan

504.

• FPB (207, 504) = 18

FPB (5)

3. Algoritma Euclid
• Dengan cara seperti di atas tidak praktis jika bilangan yang akan

dicari FPB bilangan yang besar.

• Dalam hal demikian diperlukan metode yang lebih praktis untuk

menemukan FPB-nya. Metode ini mendasarkan pada Algoritma
Pembagian dengan berulang.

FPB (6)

• Menurut Algoritma Pembagian,

bilangan bulat positip a dan b, a ≥ b
selalu dapat ditulis sebagai :

a = bq + (r),

dengan q bulat positif, r bilangan cacah, dan 0 ≤ r < b.

• Metode menemukan pembagi persekutuan terbesar

dengan menggunakan Algoritma Pembagian tersebut
dikenal sebagai Algoritma Euclides.

• Jadi, menurut Algoritma Euclides, jika a dan b bilangan-

bilangan bulat positip dengan a ≥ b , dan r adalah sisa jika
a dibagi oleh b, maka

• FPB (a, b) = FPB (b, r).

FPB (7)

• Contoh Penggunaan Algoritma Euclid
• FPB (1071,1029) = 21
• FPB (589,494) = 19

a

b

r

1071

1029

42

1029

42

21

42

21

0

21

0

a

b

r

589

494

95

494

95

19

95

19

0

19

0

Relatif Prima

• Definisi:

Jika faktor persekutuan terbesar dua bilangan bulat
positif p dan q adalah 1, maka p dan q disebut relatif
prima.

• Contoh :

3 dan 5 adalah relatif prima karena FPB(3, 5) = 1
31 dan 120 adalah relatif prima karena FPB(31, 120) = 1.
9 dan 132 bukan relatif prima karena FPB(9, 132) = 3.

• Perhatikan bahwa semua bilangan bulat positif kurang

dari bilangan prima p adalah relatif prima terhadap p.

• Misalkan setiap bilangan 1, 2, 3, 4, 5, dan 6 adalah relatif

prima terhadap bilangan prima 7.

Kelipatan Persekutuan Terkecil (KPK)

• Definisi: Bilangan bulat positip m adalah kelipatan

persekutuan terkecil (disingkat KPK) dua bilangan bulat
positip p dan q jika dan hanya jika m adalah bilangan
bulat positip terkecil yang dapat dibagi oleh p dan q.

• Dari definisi di atas, jelas bahwa kelipatan persekutuan

terkecil dua bilangan bulat adalah bilangan bulat
positip yang habis dibagi kedua bilangan tersebut.

• Hal ini ditulis:

m = KPK (p,q)

Contoh :
KPK (5,4)= 20
KPK (7, 6) =42
KPK (15, 12) = 60.

KPK (2)

• Cara Menentukan KPK
1. Menemukan himpunan kelipatan

persekutuan dan kemudian memilih yang
terkecil

2. Pemfaktoran Prima
3. Rumus

[FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q

KPK (3)

1.

Menemukan himpunan kelipatan persekutuan dan
kemudian memilih yang terkecil

• contoh

Kelipatan Persekutuan Terkecil dari: 10, 12, dan 18
Kelipatan dari 10

: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80,
90, 100, 110, 120, 130, 140, 150,
160, 170, 180,190

Kelipatan dari 12

: 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96,
108, 120, 132, 144, 156, 168, 180,
192, 204

Kelipatan dari 18

: 18, 36, 54, 72, 90, 108, 126,
144, 162, 180, 198

Jadi KPK (10,12,18) = 180

KPK (4)

2. Pemfaktoran Prima
• KPK (3600, 1080, 672)
• Contoh menggunakan faktorisasi prima :

3600 = 24x 32x 52
1080 = 23x 33 x 5
672 = 25x 3 x 7

Bilangan yang merupakan faktor prima : 2,3,5, 7
Pangkat maksimum

2 adalah 5
3 adalah 3
5 adalah 2
7 adalah 1

Oleh karena itu,

KPK adalah 25x 33x 52x 7 = 151.200

KPK (5)

3. Rumus: [FPB (p,q)] x [KPK (p,q)] = p x q
• KPK(146,124) = (146 x 124) ÷ FPB (146, 124

= 18104 ÷ 2
= 9052

KPK (6)

• KPK tiga atau lebih bilangan bulat positip dapat

ditemukan dengan terlebih dahulu mencari KPK dari
bilangan-bilangan itu; sepasang demi sepasang.

• Misalkan akan dicari KPK dari p, q, r, s,

maka dicari dulu KPK bilangan p dan q misalkan
terdapat m1, kemudian dicari KPK bilangan r dan s
misalkan terdapat m2.

• Maka KPK (p,q,r,s) = KPK (m1, m2 ).
• Contoh :

Carilah KPK dari 42, 96, 104. 18.
Jawab:

KPK (42. 96) = 672 dan KPK (104, 18) = 936
KPK (42, 96, 104, 18) = KPK (672, 936) = 26208