MATRIKS

1

Kesamaan Matriks

Penjumlahan dan
Pengurangan Matriks

Perkalian Bilangan Real
terhadap Matriks

Perkalian Dua Matriks

Determinan dan Invers
Matriks

2

3

4

5

6

7

8

9

Pengertian dan Notasi
Matriks

Ordo Matriks

Jenis Matriks

Transpos Matriks

Materi

Matriks adalah jajaran bilangan-

bilangan yang disusun dalam bentuk

baris dan kolom serta dibatasi oleh

tanda kurung biasa () atau tanda

kurung siku []. Matriks umumnya

dilambangkan oleh huruf kapital.

Pengertian dan Notasi Matriks

(Per 100 g)
Kalori
(kcal)

Protein

(g)
Lemak (g)

Daging Sapi

250

20

20

Daging Ayam

120

25

3

Contoh

Perhatikan tabel kandungan nutrisi
daging berikut!

Bentuk Matriks:

Ordo Matriks

Ordo merupakan ukuran atau

dimensi, yaitu bilangan asli yang

menyatakan banyaknya baris dan

kolom pada suatu matriks. Ordo

dituliskan dalam perkalian baris

dengan kolom berturut-turut.

Ordo matriks M

dengan banyak baris
a dan banyak kolom b.

Contoh

Baris

Kolom

Matriks M di bawah ini memiliki ordo
2x3, yaitu 2 baris dan 3 kolom.

Jenis Matriks

Matriks Persegi

Matriks Baris

Matriks yang jumlah baris dan
kolomnya sama. Misal matriks
dengan ordo 2 x 2, 3 x 3, dan
seterusnya.

Matriks yang hanya terdiri dari
satu baris saja. Ordonya yaitu
1 x n.

Contoh
Contoh

Matriks Kolom

Matriks Nol

Matriks yang hanya terdiri dari
satu kolom saja. Ordonya yaitu
n x 1.

Matriks dengan ordo sebarang,
namun semua elemennya nol.

Contoh
Contoh

Matriks Diagonal

Matriks Identitas

Contoh

Contoh

Matriks persegi dengan elemen
diagonal utamanya tidak nol,
dan elemen lainnya nol.

Matriks identitas adalah matriks
diagonal dengan elemen
diagonal utamanya adalah 1.

diagonal

utama

diagonal
samping

Transpos Matriks

Transpos dari suatu matriks M

dilambangkan oleh M’ atau Mᵗ,

yang diperoleh dengan menukar

elemen-elemen baris dan kolom

matriks tersebut.

Jika matriks M berordo a x b,
maka transpos M adalah

Contoh

Kita ambil contoh matriks dari tabel
kandungan nutrisi daging sapi dan daging
ayam, diketahui

transpos matriks M adalah:

baris pertama

kolom pertama

Dua buah matriks A dan B dikatakan sama,

dituliskan A=B, jika syarat berikut terpenuhi:

Matriks A dan B memiliki ordo sama.

Kesamaan Matriks

Setiap elemen yang seletak pada

matriks A dan B juga bernilai sama.

#1

#2

Penjumlahan & Pengurangan Matriks

Penjumlahan dan pengurangan

matriks berlaku untuk matriks-

matriks yang memiliki ordo sama.

Caranya yaitu dengan

mengoperasikan elemen-elemen

matriks yang bersesuaian.

Sifat-Sifat

A + B = B + A

A + (B + C) = (A + B) + C

A + 0 = 0 + A = A

A - B = A + (-B)

Perkalian Matriks dengan Skalar

Misalnya terdapat matriks Aₘ ₓ ₘ

dan k ∈ ℝ, maka kA adalah matriks

berordo m x n yang unsur-unsurnya

diperoleh dengan mengalikan

setiap unsur matriks A dengan k.

Perkalian seperti ini disebut

perkalian skalar

Sifat-Sifat

(k₁k₂)A = k₁(k₂A) = k₂(k₁A)

k(A + B) = kA + kB

(k₁+k₂)A = k₁A + k₂A

Untuk matrika A da B yang
berordo sama berlaku:

Perkalian dua matriks akan terdefinisi dengan syarat banyaknya
kolom pada matriks pertama sama dengan banyaknya baris pada

matriks kedua. Misal Aₘ ₓ ₘ dan Bₘ ₓ ₒ , maka perkalian AB akan

menghasilkan matriks berordo m x o.

Perkalian Dua Matriks

Contoh

Diketahui dua matriks berikut A₂ ₓ ₃ dan B₃ ₓ ₂

Jadi AB akan memiliki ordo:

sama

Sedangkan BA tidak terdefinisi
karena tidak memenuhi syarat
ordo perkalian matriks.

tidak sama

Elemen-elemen dari perkalian dua

matriks dapat dicari dengan

menjumlahkan hasil perkalian dari
elemen-elemen dengan baris dan

kolom yang bersesuaian.

Contoh

Matriks pertama 2 x 2 dan matriks
kedua 2 x 3. Perkalian matriksnya
akan menghasilkan ordo 2 x 3.

Carilah hasil perkalian matriks di
bawah ini!

Misal kita tulis:

a adalah elemen baris pertama dan
kolom pertama, maka:

b adalah elemen baris pertama dan
kolom kedua, maka:

c adalah elemen baris pertama dan
kolom ketiga, maka:

d adalah elemen baris kedua dan
kolom pertama, maka:

e adalah elemen baris kedua dan
kolom kedua, maka:

f adalah elemen baris kedua dan
kolom ketiga, maka:

Jadi:

Sifat-Sifat

(AB)C = A(BC)

A(B + C) = AB + AC

(B + C)A = BA + CA

k(AB) = (kA)B = A(kB)

AB ≠ BA

Asosiatif

Distributif Kanan

Distributif Kiri

Jika penjumlahan dan perkalian berikut
terdefinisi, maka:

Tidak komutatif

k skalar

Determinan Matriks

Determinan adalah suatu konstanta yang

dimiliki oleh matriks persegi, dan digunakan

untuk mencari invers atau kebalikan matriks

tersebut. Determinan matriks juga dapat

digunakan untuk mencari solusi sistem

persamaan linear. Determinan matriks A,

dituliskan sebagai det A atau |A|.

Determinan Matriks Ordo 2X2

Misal A adalah sebuah matriks

berordo 2 x 2, yaitu

det A atau |A| adalah:

Ada dua metode yang umum

digunakan dalam mencari

determinan matriks ordo 3x3. Kali
ini kita akan mempelajari metode

yang dinamakan aturan Sarrus,
diambil dari nama penemunya,

seorang matematikawan Perancis

yaitu Pierre Frédéric Sarrus.

Determinan Matriks Ordo 3 x 3

Salinlah elemen-elemen pada kolom pertama dan kolom kedua, dan
simpan di sebelah kanan matriks.

Langkah-Langkah Aturan Sarrus

Tandai enam diagonal yang terbentuk, yaitu 3 diagonal utama dan
tiga diagonal samping.

Diagonal

Utama

Diagonal
Samping

#1

#2

Kalikan elemen masing-masing diagonal, dan jumlahkan hasil
perkaliannya.

Kurangkan hasil penjumlahan sebelumnya yaitu diagonal utama
dikurangi oleh diagonal samping.

#4

#3

Invers Matriks

Invers matriks dimiliki oleh matriks

persegi, sehingga berlaku:

Invers matriks didefinisikan oleh rumus

disamping, dengan |A| adalah

determinan matriks A dan adj A adalah

adjoin dari matriks A.

Invers Matriks Ordo 2X2

Misal A adalah sebuah matriks
berordo 2 x 2, yaitu

adjoin matriks A adalah:

Invers Matriks Ordo 3x3

Untuk mencari invers matriks ordo 3x3, kita
perlu mencari adjoin matriksnya dulu. Misal A
adalah matriks ordo 3x3, yaitu:

Adjoin matriks A akan memiliki elemen-
elemen dengan tanda negatif dan positif
yang selang-seling, misalnya yaitu:

Untuk mencari elemen - elemen dari adjoin A maka kita harus “menutup” baris
dan kolom yang bersesuaian dengan masing-masing elemen, lalu mencari
determinan dari matriks 2x2 yang terbentuk.

Untuk mencari x₁₁, tutup baris pertama dan kolom pertama.

Untuk mencari x₁₂, tutup baris pertama dan kolom kedua.

Untuk mencari x₁₃, tutup baris pertama dan kolom ketiga.

Untuk mencari x₂₁, tutup baris kedua dan kolom pertama.

Untuk mencari x₂₂, tutup baris kedua dan kolom kedua.

Untuk mencari x₂₃, tutup baris kedua dan kolom ketiga.

Untuk mencari x₃₁, tutup baris ketiga dan kolom pertama.

Untuk mencari x₃₂, tutup baris ketiga dan kolom kedua.

Untuk mencari x₃₃, tutup baris ketiga dan kolom ketiga.

Setelah elemen dari adjoin matriks A diketahui, maka substitusikanlah ke dalam
formula invers matriks yang sebelumnya ditampilkan.

Tentu saja formula di atas sangat panjang dan tidak untuk dihafal. Sebaiknya
pahamilah langkah-langkah dalam mencari determinan dan adjoin matriksnya saja.

Terimakasih!

Sampai bertemu di kelas selanjutnya!

Elemen