PERSAMAAN LINGKARAN

MATEMATIKA PEMINATAN - KELAS XI

Matematika Peminatan kelas XI

Lingkaran adalah kumpulan titik-titik pada garis bidang datar yang semuanya berjarak sama dari titik tertentu.

Titik tertentu disebut pusat lingkaran dan titik-titik yang berjarak sama disebut jari-jari lingkaran.

Matematika Peminatan kelas XI

Matematika Peminatan Kelas XI

Gambar disamping adalah contoh benda-benda disekitar yang berbentuk lingkaran

7

BALIKAN MATRIKS. Jika A dan B matriks bujur sangkar demikian sehingga AB = BA =
1, maka B disebut balikan dari A dan kita tuliskan B = A–1I (B sama dengan A balikan). Matriks B
juga mempunyai Asebagai balikannya dan kita boleh menuliskan A= B–1.

Contoh 1. Karena

=













=














−
−
−−















100
010
001

101
011
326

421
33 0
321
I. masing-masing matriks dalam hasil kali

merupakan balikan dari lainnya.

TRANSPOSE SUATU MATRIKS. Matriks peringkat n × m yang diperoleh dari penukaran baris
dan kolom matriks A, m × n disebut tranpose dari A dan dinyatakan oleh A’ = (A, tranpose).

Misalnya, tranpose A =





654
321
adalah A’ =














63
52
41
. perhatikan bahwa elemen aij pada baris ke i dan

kolom ke j dari A berada pada baris ke j dan kolom ke i dari A’.
Jika A’ dan B’ masing-masing tranpose dari A dan B dan jika k suatu skalar, segera kita mempunyai

(a) (A’)’ = A dan (bA)’ = kA’

Tranpose dari jumlah dua matriks adalah jumlah masing-masing transposnya, yaitu, dan

(A + B)’ = A’ + B’
Tranpose dari hasil kali dua matriks adalah hasil kali masing-masing tranposenya dalam urutan
terbalik, yaitu.

MATRIKS SIMETRI. Matriks A sedemikian sehingga A’ = A disebut simetri. suatu matrik bujur
sangkar A = [aij] adalah simetri asalkan aji, untuk semua i dan j. Misalnya,

A =














−
−
653
550
321
adalah simetri dan juga kA untuk sebarang skalar k.

dalam soal 13 kita buktikan

Jika A matriks bujur sangkar peringkat n, maka A + A’ adalah simetri.

Matrik bujur sangkar A demikian sehingga A’ = – A disebut simetri. Jadi, suatu matriks bujur
sangkar A adalah simetri-miring asalkan aij = ajiuntuk semua nilai i dan j. Jelas, elemen-elemen

diagonal nol. Misalnya, A =














−−

−

04 3
402
320
adalah simetri miring dan juga kA untuk sebarang skalar k,

Dengan hanya sedikit perubahan dalam soal 13, kita dapat membuktikan
Jika A matrik bujur sangkar sebarang, maka A – A’ adalah simetri miring.
Dari Teorema IV dan V membawakan

Setiap matriks A bujur sangkar dapat dituliskan sebagai jumlah suatu matriks simetri B = 2
1 (A +

A′) dan matriks simetri miring C = 2
1 (A + A′)

Matematika Peminatan kelas XI

Mengapa Motor yang dikendarai orang disamping dapat melaju dengan mulus?

3

C = [a11 b11 + a12 b21 + … + a1m bm1]

Yaitu, [a11 a12 … a1m].





























1m

21

11

b
.
.
.

.
b
b

= [a11 b11 + a12 b21 + … + a1m bm1] =










∑
=

m

1k
1kk1ba

Dengan anggapan bahwa A, B, C bersesuaian untuk jumlah dan hasil kali yang ditunjukkan, kita
mempunyai
(e) A(B + C) = AB + AC

(hukum distribusi pertama)
(f) (A + B)C = AC + BC

(hukum distribusi kedua)
(g) A(BC) = (AB)C

(hukum asosiasi)
Tetapi
(h) AB ≠ BA, secara umum,
(i) AB = 0 tidak perlu membawakan A = 0 atau B = 0
(j) AB = AC tidak perlu membawakan B = C

1. (a)
















−

−

−

+
















−

−

1322

3051

2143

2152

1204

0121
= …

(b)
















−

−

−

−
















−

−

1322

3051

2143

2152

1204

0121
= …

(c)
















−

−

−

=
















−

−

1322

3051

2143

2152

1204

0121

3

= …

(d)
















−

−

−
=
















−

−
−

1322

3051
2143

2152

1204

0121
= …

2. Jika A =
















65

43
21
dan B =















−
−−

34

51
23
, tentukan D =
















ut

sr
qp
demikian sehingga A + B – D = 0.

3. (a) [4 5 6]
















−1
3

2
= …

(b)
















−1
3
2
[4 5 6] = …

4

(c) [1 2 3]
















−−
−
−

81185
71070
6964
= …

(d)























3
2
1

651
432
= …

(e)
















−

−








22
51
43

204
121
= …

4. Tetapkan A =














−

101
210
112
. Maka

A2 =














−

101

210
112















−

101

210
112
=
















−

−

213

412
135
dan A3 = A2.A =
















−

−

213

412
135















−

101

210
112
=
















−

−
−

348

818
0811

Soal-soal

1. Diberikan A =
















−

−

111

205
321
, B =














−

302

524
213
, dan C =
















−321

230
214

(a) Hitung: A + B =
















−

−

413

729

114
, A – C =
















−

−

−

−

210

035

513

(b) Hitung: –2A =
















−

−

−

−

−−

222

4010

642
, 0.B = 0

(c) Periksa: A + (B – C) = (A + B) – C
(d) Temukan matriks D sedemikian sehingga A + D = B. Periksa bahwa D = B – A = –(A – B).

2. Diberikan A =
















−
−

−
−

012
123
111
dan B =
















321
642
321
, periksa AB = 0 dan BA =
















−

−
−

−
−

−

1611
21222
1611

Karenanya, secara umum AB ≠ BA.

3. Diberikan A =
















−−

−
−

134
312
231
, B =
















−

2121

1112
0141
dan C =
















−−

−−−

−−

0152
1123

2112
, perlihatkan

bahwa AB = AC. Jadi AB = AC tidak perlu membawakan B = C.

4. Diberikan A =
















−

−

213

302
111
, B =
















−41

20
31
, dan C =







−

−

1202

4321
perlihatkan bahwa

(AB)C = A(BC).

Matematika Peminatan kelas XI

Sepeda, motor, mobil, dll dapat melaju dengan mulus dikarenakan rodanya memiliki jari-jari yang sama panjang.

Berguna untuk mendeteksi, mengukur jarak, dan membuat map benda-benda seperti pesawat terbang, berbagai kendaraan bermotor dan informasi cuaca.

Matematika Peminatan kelas XI

Gambar disamping adalah gambar lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari-jari r, didalamnya terdapat segita siku-siku yang sisi miringnya merupakan jari jari lingkaran (r) dan sisi penyikunya adalah x dan y.

Berlaku dalil phytagoras.

x² + y² = r²

Matematika Peminatan Kelas XI

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan memiliki jari-jari

a) r = 3

b) r = 7

Penyelesaian:

a) r = 3, maka persamaannya adalah x² + y² = 3²

= x² + y² = 9

b) r = 7, maka persamaannya adalah x² + y² = 7²

= x² + y² = 49

Matematika Peminatan Kelas XI

2. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (6, -8).

Penyelesaian:

Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) adalah x² + y² = r²

Lingkaran melalui titik (6, -8), sehingga diperoleh 6² + (-8)² = r²

36 + 64 = r²

100 = r²

Jadi, persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan melalui titik (6, -8) adalah x² + y² = 100.

Matematika Peminatan Kelas XI

3. Tentukan jari-jari lingkaran dengan persamaan x² + y² = 121

Matematika Peminatan Kelas XI

Gambar lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan berjari-jari r, didalamnya terdapat segita siku-siku yang sisi miringnya MP = r

MQ = a - x

PQ = y - b

Berlaku dalil phytagoras.

Matematika Peminatan Kelas XI

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di M(a,b) dan memiliki jari-jari 6.

Penyelesaian:

titik pusat lingkaran (4, -5) dan berjari-jari 6, maka persamaannya adalah

(x - b)² - (y - b)² = r²

(x - 4)² - (y- (-5))² = r²

(x - b)² - (y + 5)² = r²

Matematika Peminatan Kelas XI

2. Tentukan pusat dan jari-jari lingkaran dengan persamaan lingkaran

   (x + 1)² - (y + 3)² = 81

Matematika Peminatan Kelas XI