Dilatasi

Perhatikan gambar di samping!

Jika kita amati segitiga ABC pada gambar, segitiga ABC akan semakin besar dengan perkalian skala 3. Kemudian, jarak 𝑂𝐴′ adalah tiga kali jarak 𝑂𝐴, jarak 𝑂𝐵′ adalah tiga kali jarak 𝑂𝐵, jarak 𝑂𝐶′ adalah tiga kali jarak 𝑂𝐶.

Tetapi ketika segitiga ABC dikalikan dengan faktor skala −1 menghasilkan besar dan ukuran yang sama tetapi mempunyai arah yang berlawanan. Perhatikan juga jarak 𝑂𝐴′′ sama dengan jarak 𝑂𝐴, jarak 𝑂𝐵′′ sama dengan jarak 𝑂𝐵, dan jarak 𝑂𝐶′′ sama dengan jarak 𝑂𝐶.

Dilatasi adalah transformasi yang mengubah jarak titik-titik dengan faktor pengali tertentu terhadap suatu titik tertentu. Faktor pengali tertentu disebut faktor dilatasi atau faktor skala dan titik tertentu disebut pusat dilatasi.

​Definisi Dilatasi

Objek yang didilatasi dengan faktor skala 𝑘 dapat mengubah ukuran atau tetap ukurannya tetapi tidak mengubah bentuk.

• Jika 𝑘 > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap sudat dilatasi dengan bangun semula

• Jika 𝑘 = 1 maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan letak

• Jika 0 < 𝑘 < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika −1 < 𝑘 < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula

• Jika 𝑘 = −1 maka bangun tidak akan mengalami perubahan bentuk dan ukuran dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

• Jika 𝑘 < −1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

Pengaruh Faktor Skala terhadap Hasil Dilatasi

Rumus Dilatasi

Fungsi y = (1/2)^x ditransformasikan secara dilatasi dengan faktor skala 3.
Tentukan hasil transformasi tersebut jika pusat dilatasi O(0,0)!

Contoh Soal 1

Penyelesaian:

​x’ = 𝑘x

x’ = 3x

x  = x^'/3

​y’ = 𝑘y

y’ = 3y

y  = y’/3

​Maka
y = (1/2)^x

y’/3 = (1/2)^x'/3
y’ = 3 . (1/2)^x'/3
y’ = 3 . (2^-1)^x'/3
y’ = 3 . 2^{- x'/3}

​Jadi, hasil dilatasi fungsi tersebut adalah y’ = 3 . 2^{- x/3}

Contoh Soal 2

Fungsi y = (1/2)^x ditransformasikan secara dilatasi dengan faktor skala 3.
Tentukan hasil transformasi tersebut jika pusat dilatasi A(1,1)!

​Penyelesaian:

​x’ - a = 𝑘(x – a)

x’ - 1 =3 (x – 1)
x’ - 1 =3x – 3

x’ = 3x – 3 + 1
x’ = 3x – 2

3x  = x’ + 2
x  = (x’ + 2)/3

​y’ - b = 𝑘(y – b)

y’ - 1 =3 (y – 1)
y’ - 1 =3y – 3

y’ = 3y – 3 + 1
y’ = 3y – 2

3y  = y’ + 2
y  = (y’ + 2)/3

​Maka
y = (1/2)^x
(y’ + 2)/3 = (1/2)^{(x’ + 2)/3}
y’ + 2 = 3 . (1/2)^{(x’ + 2)/3}
y’ + 2 = 3 . (2^-1)^{(x’ + 2)/3}
y’ + 2 = 3 . 2^{- (x’ + 2)/3}
y’ = 3 . 2^{- (x’ + 2)/3} - 2

​​Jadi, hasil dilatasi fungsi tersebut adalah y’ = 3 . 2^{- (x + 2)/3} - 2

Ilustrasi Gambar Contoh Soal 2

Ayu Ting Ting is eating

Thank you for everything