Transformasi Geometri

DILATASI

Pernahkan kalian
memperbesar atau
memperkecil ukuran
foto untuk dicetak?

Ukuran Foto Panda 13 x 10,5 cm

Ukuran Foto Panda

6,5 x 5,25 cm

CONTOH DALAM MATEMATIKA

Seorang ibu menyimpan gula dalam sebuah gelas plastik

berbentuk tabung tanpa tutup dengan luas alas 616 𝑐𝑚2(alas
berbentuk lingkaran). Kemudian ibu menutup tabung tersebut
dengan plastik serta mengikatnya dengan karet gelang yang

berbentuk lingkaran dengan diameter 7 cm. Hitunglah

pembesaran karet tersebut?

Karet gelang

Penyelesaian :

𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟 = 1

2 ∙ 𝑑

𝑟 = 1

2∙ 7 = 7

2𝑐𝑚

𝐽𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 𝑟

𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 = 𝜋𝑟2= 22

7 ∙ 𝑟2 = 616 𝑐𝑚2

𝑟2= 7

22 ∙ 616 𝑐𝑚2

𝑟2= 196 𝑐𝑚2

𝑟 = 14 𝑐𝑚

∴ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑡𝑎𝑏𝑢𝑛𝑔 ∶ 𝑗𝑎𝑟𝑖 − 𝑗𝑎𝑟𝑖 𝑘𝑎𝑟𝑒𝑡 𝑔𝑒𝑙𝑎𝑛𝑔 = 14:

7
2𝑎𝑡𝑎𝑢 4: 1 sehingga

pembesaran karet gelang adalah 4.

Dilatasi (pembesaran atau perkalian) ialah suatu

transformasi yang mengubah ukuran

(memperkecil atau memperbesar) suatu bangun

tetapi tidak mengubah bentuk bangun yang

bersangkutan. Dilatasi ditentukan oleh titik pusat

dan faktor (faktor skala) dilatasi.

Jadi, apa ya yang dimaksud

dengan dilatasi?

Pembesaran atau
perkalian itu nama
lain dari dilatasi

Apa yang dimaksud faktor

skala?

Faktor skala (k) adalah perbandingan antara jarak
titik bayangan dari titik pusat dilatasi dan jarak titik

benda berkaitan dari titik pusat dilatasi.

𝐹𝑎𝑘𝑡𝑜𝑟 𝑠𝑘𝑎𝑙𝑎 𝑘 =𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑎𝑦𝑎𝑛𝑔𝑎𝑛

𝑗𝑎𝑟𝑎𝑘 𝑏𝑒𝑛𝑑𝑎

Sebuah segitiga ABC dengan titik
A(1,2), B(2,3), dan C(3,1) dilatasi

terhadap titik 0 dengan faktor skala 2.
tentukan koordinat bayangan titik-titik

segitiga ABC.

Penyelesaian:
Koordinat bayangan titik A, B, dan C masing-masing adalah A1(2,4),
B1(4,6), dan C1(6,2).

A

B

C

A1

C1

B1

DILATASI PUSAT
𝑂(0,0) DAN FAKTOR
SKALA 𝑘

Jika titik 𝑃(𝑥, 𝑦) dilatasi terhadap pusat 𝑂(0,0) dan faktor skala

𝑘, didapat bayangan 𝑃’(𝑥’, 𝑦’) maka 𝑥’ = 𝑘𝑥 dan 𝑦’ = 𝑘𝑦 dan

dilambangkan dengan [𝑂, 𝑘]

𝑃(𝑥, 𝑦)

𝐷[0,𝑘] 𝑃′(𝑘𝑥, 𝑘𝑦)

Contoh 1: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan

faktor skala 2.

B’

C’

D’

A’

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(5,2), C’(5,4), dan D’(3,4)

Dari contoh 1 dapat disimpulkan
bahwa “jika k>1, maka bangun
terlihat diperbesar dan letaknya
searah terhadap pusat dilatasi
dengan bangun semula”.

Contoh 2: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−2 . Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik A
dengan faktor
skala −2 .

B’

C’
D’

A’

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(1,2), C’(1,0), dan D’(3,0)

Dari

contoh

2

dapat

disimpulkan bahwa “jika
k<-1,

maka

bangun

terlihat

diperbesar

dan

letaknya berlawanan arah
terhadap

pusat

dilatasi

dengan bangun semula”.

Contoh 3: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(4,2),
C(4,3), dan D(3,3) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala 1.
Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(4,2), C(4,3), dan

D(3,3)

Dilatasi

terhadap titik A
dengan faktor

skala 1.

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D tidak mengalami perubahan

(tidak diperbesar ataupun diperkecil), koordinatnya tetap.

Dari contoh 3 dapat disimpulkan bahwa
“jika

𝑘 = 1 ,

maka

bangun

tidak

mengalami perubahan ukuran dan letak”.

Contoh 4: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
1
2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan

D(3,4)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan

faktor skala 1

2.

B’

C’

D’

A’

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(4,2), C’(3,2), dan D’(3,3)

Dari contoh 4 dapat disimpulkan
bahwa “jika 0 < 𝑘 < 1, maka bangun
terlihat diperkecil dan letaknya searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun
semula”.

Contoh 5: Terdapat persegi ABCD dengan titik A(3,2), B(5,2),
C(5,4), dan D(3,4) dilatasi terhadap titik A dengan faktor skala
−

1
2. Tentukan koordinat bayangan titik-titik persegi ABCD!

A

D

B

C

Terdapat persegi ABCD dengan
titik A(3,2), B(5,2), C(5,4), dan

D(3,4)

Dilatasi

terhadap titik

A dengan
faktor skala

−1

2.

B’

C’

D’

A’

Penyelesaian:

Koordinat bayangan titik A, B, C, dan D masing-masing adalah A’(3,2),

B’(2,2), C’(2,1), dan D’(3,1)

Dari contoh 5 dapat disimpulkan
bahwa

“jika −1 < 𝑘 < 0 ,

maka

bangun

terlihat

diperkecil

dan

letaknya berlawanan arah terhadap
pusat

dilatasi

dengan

bangun

semula”.

DILATASI PUSAT P(A,B)
DAN FAKTOR SKALA K

Bayangannya adalah 𝑥′= 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎 dan 𝑦′= 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏

dilambangkan dengan 𝑃(𝑎,𝑏), 𝑘

𝐴(𝑥, 𝑦)

𝐷 𝑃 𝑎,𝑏 ,𝑘

𝐴′ 𝑘 𝑥 − 𝑎 + 𝑎, 𝑘 𝑦 − 𝑏 + 𝑏

DAPAT DISIMPULAKAN BAHWA SIFAT
DILATASI ADALAH

Bangun yang diperbesar atau diperkecil (dilatasi) dengan skala k dapat
mengubah

ukuran

atau

tetap

ukurannya

tetapi

tidak

mengubah

bentuknya.

a.
Jika k>1, maka bangun akan diperbesar dan terletak secara
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

b.
Jika k=1, maka bangun tidak mengalami perubahan ukuran dan
letak.

c.
Jika 0<k<1, maka bangun akan diperkecil dan terletak searah
terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

d.
Jika -1<k<0, maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan
arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

e.
Jika k<-1, maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan
arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.

TERIMA KASIH