Induksi Matematika

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pn : 1 + 2 + 3 + · · · + n =n(n + 1)

2

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

2. Buktikan bahwa
2 + 4 + 6 + · · · + 2n = n2+ n

untuk n bilangan asli.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 1

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

3. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pn : 12+ 22+ 32+ · · · + n2=n(n + 1)(2n + 1)

6
bernilai benar untuk semua n bilangan asli.

4. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pn : 1 + 3 + 5 + · · · + (2n − 1) = n2

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 2

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

5. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

Pn : 1 · 2 + 2 · 3 + 3 · 4 + · · · + n(n + 1) =n(n + 1)(n + 2)

3

bernilai benar untuk setiap n bilangan asli.

6. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

n�

k=1

1

(2k − 1)(2k + 1) =
n

2n + 1

berlaku untuk setiap n bilangan asli.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 3

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

7. Tunjukkan bahwa dalam barisan aritmetika berlaku

Sn = 1

2n(2a + (n − 1)b), n ≥ 1, n ∈ N

dengan a dan b berturut-turut adalah suku pertama dan beda/selisih tiap suku yang
berdekatan dalam barisan itu.

8. Tunjukkan bahwa dalam barisan geometri berlaku

Sn =a(rn − 1)

r − 1
, r > 1, n ≥ 1, n ∈ N

dengan r adalah rasio barisan.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 4

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

9. Buktikan bahwa

12− 22+ 32− · · · + (−1)n+1n2= (−1)n+1n(n + 1)

2

untuk semua n ∈ N.

10. Buktikan bahwa untuk n ∈ N, berlaku

12+ 32+ 52+ · · · + (2n − 1)2=n(2n − 1)(2n + 1)

3

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 5

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

11. Buktikan dengan menggunakan induksi matematika bahwa

13+ 33+ 53+ · · · + (2n − 1)3= n2(2n2− 1)

untuk setiap n bilangan asli.

12. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

1

1 · 2 +
1

2 · 3 + · · · +
1

n(n + 1) =
n

n + 1.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 6

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

13. Buktikan dengan induksi matematika bahwa persamaan berikut ini benar untuk
n ∈ N.

1

1 · 2 · 3 +
1

2 · 3 · 4 +
1

3 · 4 · 5 + · · · +
1

n(n + 1)(n + 2) =
n(n + 3)

4(n + 1)(n + 2)

14. Temukan rumus dengan bukti untuk penjumlahan berikut.

1

1 · 2 · 3 · · · m+
1

2 · 3 · · · (m + 1) + · · · +
1

n(n + 1) · · · (n + m − 1)

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 7

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

15. Buktikan dengan induksi matematika bahwa

n�

k=1
k·3k= (2n − 1) · 3n+1 + 3

4
berlaku

untuk setiap n bilangan asli.

16. Buktikan bahwa 1+ 2+ 22+ 23+· · ·+2n= 2n+1−1 untuk setiap n bilangan cacah.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 8

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

17. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku

n�

i=1
i3= 13+ 23+ 33+ · · · + n3=
�n(n + 1)

2

�2

18. Buktikan bahwa untuk setiap bilangan asli n, berlaku

n�

i=1
i4= 14+ 24+ 34+ · · · + n4=n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1)

30

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 9

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

19. Buktikan bahwa jika n ∈ N, maka n > 0.

20. Buktikan bahwa untuk semua bilangan asli n, berlaku

1
√

1 + 1
√

2 + 1
√

3 + · · · + 1
√n < 2√n.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 10

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

21. Jika diberikan a > 1, buktikan bahwa an> 1 untuk n bilangan asli.

22. Buktikan bahwa Pn : 2n> n + 20 bernilai benar untuk setiap bilangan bulat n ≥ 5.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 11

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

23. Diketahui 0 < a < 1. Buktikan 0 < an< 1 untuk n bilangan bulat positif.

24. Untuk setiap n bilangan asli, buktikan bahwa

1 + 1

22 + 1

32 + · · · + 1

n2 ≤ 2 − 1

n.

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 12

Hak cipta pada mathcyber1997.com

Update: 19 Januari 2021

25. Sebuah ATM (Automated Teller Machine) hanya menyediakan pecahan uang Rp20.000,00
dan Rp50.000,00. Kelipatan uang berapakah yang dapat dikeluarkan oleh ATM
tersebut? Buktikan dengan induksi matematika.

Kunjungi tautan berikut untuk melihat pembahasannya.

https://mathcyber1997.com/
soal-dan-pembahasan-induksi-matematika/

Induksi Matematika pada
Deret dan Ketaksamaan Bilangan
Halaman 13