​1. Запишите десять раз число 1,11 и одиннадцать раз число 1,01. Зачеркните одно или несколько чисел так, чтобы сумма оставшихся чисел была равна 20,19.

Ответ: 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,11; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01; 1,01. (Вычеркнуты числа 1,01 и 1,01.)

Решение. Сумма всех записанных чисел равна 10*1,11 + 11*1,01 = 22,21. Это на 2,02 больше требуемой суммы. То есть достаточно вычеркнуть два числа 1,01. Можно также непосредственной проверкой убедиться, что сумма чисел, оставшихся после вычеркивания, равна 20,19

2.Расположите на плоскости точки A, B, C, D и E так, чтобы можно было указать ровно восемь треугольников с вершинами в отмеченных точках. Перечислите эти треугольники.

Ответ: например, см. рис. 7.2.

Треугольники: ABE, ABD, BCD, BCE, ADE, ACD, ACE, BDE.

Условию задачи удовлетворяет любое расположение точек, при котором четыре точки разбиваются на пары, задающие две прямые, а пятая точка принадлежит обеим прямым (в указанном случае прямые АВ и DE пересекаются в точке С). Тогда из десяти троек точек ровно две тройки не образуют треугольника. При иных случаях расположения точек количество треугольников не равно восьми.

3. В поезде 18 одинаковых вагонов. В некоторых вагонах свободна ровно половина мест, в некоторых других – ровно треть мест, а в остальных заняты все места. При этом во всём поезде свободна ровно одна девятая всех мест. В скольких вагонах все места заняты? Ответ: в 13 вагонах.

4. У бабушки в саду созрели яблоки: антоновка, грушовка и белый налив. Если бы антоновки было втрое больше, то суммарное количество яблок выросло бы на 70%. Если бы втрое больше было грушовки, то оно выросло бы на 50%. На сколько процентов изменилось бы суммарное количество яблок, если бы втрое больше было белого налива?

Ответ: увеличилось на 80%.

Решение.

Первый способ. Если бы каждого сорта яблок было втрое больше, то суммарное количество яблок увеличилось бы на 200%. Из них 70% составляет увеличение за счёт антоновки, 50% – увеличение за счёт грушовки. Значит, увеличение за счёт белого налива составит 200% – 70% – 50% = 80%.

Второй способ. Так как прибавление удвоенного количества антоновки даёт рост 70%, то антоновка составляет 0,35 от всех яблок. Аналогично, грушовка составляет 0,25 от всех яблок. Значит, доля белого налива – 0,4. Если к числу дважды прибавить по 0,4, то число вырастет на 80%.

5. У Веры есть 27 кубиков с ребром 1 см: 9 красных и 18 синих. Она сложила из них куб с ребром 3 см. Может ли на поверхности куба количество красных квадратиков со стороной 1 см равняться количеству таких же синих?

Ответ: нет.

Решение. Всего на поверхности получившегося куба 9 * 6 = 54 квадратика. На поверхности куба окажутся три грани маленького кубика, если этот кубик в углу, две грани – если кубик примыкает к ребру куба, одна – если кубик в центре грани. На поверхности окажется наибольшее количество красных квадратиков, если 8 красных кубиков займут все углы большого куба, а ещё один будет примыкать к его ребру. В этом случае на поверхности куба будет 8 * 3 + 2 = 26 красных квадратиков, но это меньше, чем 54 : 2 = 27.

​Спасибо за урок!

:)