Всероссийская олимпиада школьников по математике

2019–2020 уч. г.

Школьный этап

Задача 1.

В мешке лежали карточки с числами от 1 до 20. Влад вытащил 6 карточек и сказал, что все эти карточки можно разбить на пары так, что суммы чисел в каждой паре одинаковые. Лена успела подсмотреть 5 карточек Влада: на них были написаны числа 2, 4, 9, 17, 19. Карточку с каким числом не успела подсмотреть Лена? (Достаточно привести один подходящий ответ.)

Задача 1

В мешке лежали карточки с числами от 1 до 20. Влад вытащил 6 карточек и сказал, что все эти карточки можно разбить на пары так, что суммы чисел в каждой паре одинаковые. Лена успела подсмотреть 5 карточек Влада: на них были написаны числа 2, 4, 9, 17, 19. Карточку с каким числом не успела подсмотреть Лена? (Достаточно привести один подходящий ответ.)

Решение. Чтобы вычислить ответ, надо из указанных пяти чисел выбрать четыре так, чтобы сумма двух из них равнялась сумме двух других. Перебором несложно убедиться, что это числа 2, 4, 17, 19 (2 + 19 = 4 + 17).

Таким образом, на оставшейся карточке написано число 12 (2 + 19 = 4 + 17 = 9 + 12)

Задача 2.

Аня, Боря, Вика и Гена дежурят в течение 20 дней в школе. Известно, что каждый день дежурят ровно трое из них. Аня дежурила 15 раз, Боря — 14 раз, Вика — 18 раз. Сколько раз дежурил Гена?

Задача 2.

Аня, Боря, Вика и Гена дежурят в течение 20 дней в школе. Известно, что каждый день дежурят ровно трое из них. Аня дежурила 15 раз, Боря — 14 раз, Вика — 18 раз. Сколько раз дежурил Гена?

Решение. Так как каждый день в школе дежурят по 3 человека, то для дежурства нужно всего 3·20 = 60 человек. Получается, Гена продежурил 60−15 (дежурств Ани)−14 (дежурств Бори)− 18 (дежурств Вики) = 13 раз.

Задача 3.

На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?

Задача 3. На уроке физкультуры весь класс выстроился по росту (у всех детей разный рост). Дима заметил, что людей, которые выше него, в четыре раза больше, чем людей, которые ниже него. А Лёня заметил, что людей, которые выше него, в три раза меньше, чем людей, которые ниже него. Сколько всего человек в классе, если известно, что их не больше 30?

Решение. Пусть x — количество людей, которые ниже Димы. Тогда всего в классе учится x (люди, которые ниже Димы) + 4x (люди, которые выше Димы) + 1 (Дима) = 5x + 1 (всего людей в классе). Пусть y — количество людей, которые выше Лёни. Тогда всего в классе учится y (люди, которые выше Лёни) + 3y (люди, которые ниже Лёни) + 1 (Лёня) = 4y + 1 (всего людей в классе). Тогда, если из количества детей в классе вычесть 1, то полученное число будет делиться и на 4, и на 5. То есть будет делится на 20. В нужном диапазоне такое число только одно — 20, то есть всего в классе 21 человек.

Задача 4.

В ряд выписано 11 чисел так, что сумма любых трёх идущих подряд чисел равна 18. При этом сумма всех чисел равна 64. Найдите центральное число.

Задача 4.

В ряд выписано 11 чисел так, что сумма любых трёх идущих подряд чисел равна 18. При этом сумма всех чисел равна 64. Найдите центральное число.

Решение. Пронумеруем числа слева направо от 1 до 11. Заметим, что сумма центральных пяти чисел (с четвёртого до восьмого) равна 64 (сумма всех чисел) − 2 · 18 (сумма чисел в первой и в последней тройках) = 28. Тогда шестое (центральное) число равно 18 (сумма четвёртого, пятого и шестого чисел) + 18 (сумма шестого, седьмого и восьмого чисел) − 28 (сумма центральных пяти чисел) = 8.

Задача 5.

Дядя Фёдор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин ели торт (весь торт в итоге был съеден). Дядя Фёдор съел в два раза меньше, чем Печкин, а кот Матроскин съел в два раза меньше, чем та часть торта, которую не съел Печкин. Какую долю торта съел почтальон Печкин, если Шарик съел лишь десятую часть торта?

Задача 6.

У Кощея Бессмертного есть 11 больших сундуков. В некоторых из них лежит по 8 средних сундуков. А в некоторых средних лежит по 8 маленьких сундуков. В сундуках больше ничего не лежит. Всего у Кощея 102 пустых сундука. Сколько всего сундуков у Кощея?

Задача 6. У Кощея Бессмертного есть 11 больших сундуков. В некоторых из них лежит по 8 средних сундуков. А в некоторых средних лежит по 8 маленьких сундуков. В сундуках больше ничего не лежит. Всего у Кощея 102 пустых сундука. Сколько всего сундуков у Кощея?

Решение. Пусть x — количество непустых сундуков. Рассмотрим процесс, когда Кощей только начал помещать сундуки друг в друга. Первоначально у него было 11 пустых больших сундуков. Каждый раз, когда он клал в какой-то пустой сундук 8 сундуков меньшего размера, общее количество пустых сундуков увеличивалось на 7 (−1 старый пустой сундук и +8 новых пустых сундуков). Получается уравнение 11 + 7x = 102. Тогда x = 13. А всего сундуков у Кощея 115.