A függvény fogalma

Adott két nem üres halmaz, A és B. Ha A halmaz minden eleméhez hozzárendeljük a B halmaz pontosan egy elemét, akkor ezt a hozzárendelést függvénynek nevezzük. Az A halmaz a függvény értelmezési tartománya, a B halmaz a függvény képhalmaza. A B halmaz azon elemeinek halmazát, melyeket hozzárendeltük valamely értelmezési tartománybeli elemhez, a függvény értékkészletének nevezzük.

Függvény hozzárendelési szabálya

A függvény meghatározásakor meg kell adni az értelmezési tartományát, képhalmazát, és valamilyen formában a hozzárendelést is. Sokszor ezt úgy tesszük, hogy megadjuk a hozzárendelés szabályát.

Pl.: Amikor minden egész számhoz az abszolút értékét rendeljük, ezt így írhatjuk:

A halmazábra egy osztályzenekar összetételét mutatja:

1. Mit olvashatunk le az ábráról?

2. Hogyan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna?

3. Hogyan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az együttesben?

​a) Mit olvashatunk le az ábráról?

Az ábrán egy függvényt adtunk meg. Jelöljük f -fel! Most 𝐷𝑓 = {Kati, Lajos, Béla, Andi}, 𝑅f={zongora, gitár, dob} A nyilak azt mutatják, hogy Andi zongorázik, Kati és Béla gitározik, Lajos pedig dobol. A kapcsolatokat táblázattal is szemléltethetjük.

​Helyettesítési értékekkel leírva: 𝑓(Kati)=gitár; 𝑓(Lajos)=dob; 𝑓(Béla)=gitár; 𝑓(Andi)=zongora. Itt a függvényt megadhatjuk szavakkal, halmazábrával, a helyettesítési értékekkel vagy táblázattal is. Grafikont természetesen nem készíthetünk, mert nem számokról van szó.

​b) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Kati zongorázni is tudna?

Ebben az esetben nem beszélhetünk függvényről, mert Katihoz két értéket (gitár, zongora) rendelünk, vagyis nem egyértelmű a hozzárendelés. A függvény minden esetben egyértelmű hozzárendelés, azaz egy értelmezési tartománybeli elemhez egyetlen képhalmazbeli elem tartozhat.

​c) Hogyan változna a hozzárendelés, ha Béla nem játszana az együttesben?

Azért érdekes ez az eset, mert ekkor minden hangszerről el tudjuk dönteni, hogy ki játszik rajta. Visszafelé is egyértelmű a kapcsolat, azaz függvény lenne az a hozzárendelés is, ha a hangszerhez rendeljük hozzá, hogy ki játszik rajta. A mindkét irányban egyértelmű hozzárendeléseket kölcsönösen egyértelmű hozzárendelésnek nevezzük.

​Egy függvény minden

a) egész számhoz

b) valós számhoz

a nála 3-mal kisebb szám abszolút értékét rendeli hozzá. Mi az értelmezési tartományuk és értékkészletük? Add meg a hozzárendelési szabályukat! Ábrázold a függvényeket koordináta-rendszerben!

​Megoldás

​Ha egy függvény értelmezési tartománya a valós számok halmaza (R), azt nem kötelező kiírni. Ha tehát egy függvény megadásakor csak a hozzárendelési szabályt látjuk, akkor ennek a függvénynek az értelmezési tartománya R.

​Az alábbi grafikonok ismeretében válaszolj a kérdésekre!

1. Melyik függvénynek mi az értelmezési tartománya?

2. Melyik függvénynek mi az értékkészlete?

3. Melyik függvénynek lehet képhalmaza a pozitív számok halmaza?

4. Melyik függvénynek lehet képhalmaza az egész számok halmaza?

5. Készíts táblázatot és halmazábrát a B) grafikon alapján!

A következő  két függvény hozzárendelési szabálya megegyezik, de más az éretelmezési tartományuk. Az első esetben minden valós szám, a másodikban az egész számok: