Prueba de Hipótesis

−4

−2

0

2

4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Densidad

Distribución normal estandarizada

Contraste de 2 colas

RECHAZO

RECHAZO

ACEPTO

1−alfa

Ejemplo de contraste de hip´otesis para la media, µ con σ co-
nocida (dos colas)

Se desea contrastar con un nivel de significaci´on del 5 % la hip´otesis de
que la talla media de los hombres de 18 o m´as a˜nos de un pa´ıs es igual a
180. Suponiendo que la desviaci´on t´ıpica de las tallas en la poblaci´on vale 4,
contraste dicha hip´otesis frente a la alternativa de que es distinta.

H0 : µ = 180

frente a la alternativa:

H1 : µ ̸= 180

Los datos constituyen una muestra de n=15 hombres seleccionados al
azar, cuyas alturas son:

167 167 168 168 168 169 171 172 173 175 175 175 177 182 195
Es necesario determinar la media de la muestra, X, y los valores de los
cuantiles, zα

2, en la distribuci´on normal. En el modelo normal, el cuantil de
orden 0.975 es z0,025 = 1,96.
La media de la muestra es igual a 173.47.

2

Sustituyendo los datos en la expresi´on del estad´ıstico de contraste, tene-
mos:

zc = 173,47 − 180

4√

15
= −6,32

El valor del estad´ıstico de contraste est´a en la zona de rechazo. Por lo
que se rechaza la hip´otesis nula que establece una talla media igual a 180
cm.
Gr´aficamente la situaci´on es la siguiente:

−6

−4

−2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Densidad

Distribución normal estandarizada

Contraste de 2 colas

1.96

−6.32

−1.96

0.95

RECHAZO

RECHAZO

ACEPTO

G

G

G

Ejemplo de Contraste de hip´otesis para la media con σ cono-
cida(una cola)

Se desea contrastar con un nivel de significaci´on del 5 % la hip´otesis de
que la talla media de los hombres de 18 o m´as a˜nos de un pa´ıs es igual o
mayor a 175. Suponiendo que la desviaci´on t´ıpica de las tallas en la poblaci´on
vale 4, contraste dicha hip´otesis frente a la alternativa de que es menor, con
una muestra de n=15 hombres seleccionados al azar, cuyas alturas son las
del apartado anterior:

H0 : µ ≥ 175

3

frente a la alternativa:

H1 : µ < 175

En el modelo normal, el cuantil de orden 0.05 es −z0,05 = −1,64.
Sustituyendo los datos en la expresi´on del estad´ıstico de contraste, tene-
mos:

zc = 173,47 − 175

4√

15
= −1,48

El valor del estad´ıstico de contraste est´a en la zona de aceptaci´on. Por
lo que no se puede rechazar la hip´otesis nula que establece una talla media
igual o mayor a 175 cm.
Gr´aficamente la situaci´on es la siguiente:

−6

−4

−2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Densidad

Distribución normal estandarizada

Contraste de una cola

−1.64 −1.48

GG

0.95

RECHAZO

ACEPTO

Ejemplo de Contraste de Hip´otesis para la media µ
con σ desconocida (una cola)

Supongamos que se desconoce la desviaci´on t´ıpica de las tallas en la
poblaci´on del ejemplo anterior. Se desea contrastar la hip´otesis nula siguiente
a un nivel de significaci´on del 5 %.

4

H0 : µ ≤ 168

frente a la alternativa:

H1 : µ > 168

En este caso es necesario estimar la desviaci´on t´ıpica de la poblaci´on con
los datos de la muestra.
Dado el valor muestral de la media X y la cuasidesviaci´on t´ıpica de la
muestra,s, se determina el estad´ıstico de contraste:

tc =X − µ0

s√n

En este ejemplo el contraste es de una cola, tal que el nivel de significaci´on
α que determina el valor tα es tal que

α = P(tn−1 ≥ tα)

Para el nivel de significaci´on dado, α = 0,05, es necesario determinar el
cuantil en la distribuci´on t de Student con n-1 grados de libertad y el valor
s (cuasidesviaci´on t´ıpica) de la muestra:

Para los datos de la muestra se obtiene que X = 137,47 y s = 7,36. El
cuantil en la distribuci´on t14 es tα = 1,762. De modo que sustituyendo en la
expresi´on del estad´ıstico de contraste, tenemos:

tc = 173,47 − 168

7,36√15
= 2,88

El gr´afico siguiente muestra la situaci´on que nos lleva a rechazar la hi-
p´otesis nula, dado que el valor del estad´ıstico de contraste cae en la zona de
rechazo.

5

−6

−4

−2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

t

Densidad

Distribución t de Student 14 g.l.

Contraste de una cola

RECHAZO

ACEPTO

1.76

GG

2.88

2.Contraste de hip´otesis para la proporci´on

El contraste de 2 colas establece las hip´otesis:

H0 : p = p0

frente a la alternativa

H1 : p ̸= p0

donde p es la probabilidad del ´exito y q=1-p es la probabilidad del fra-
caso.
Para un nivel de significaci´on α, es necesario determinar el valor del
cuantil zα/2en una distribuci´on normal. Dada la proporci´on muestral, el
estad´ıstico de contraste viene dado por

zc =p − p0�

p0×q0

n

6

Ejemplo de Contraste de Hip´otesis para la proporci´on (una
cola)

En una muestra de 105 comercios seleccionados al azar de una zona,
se observa que 27 de ellos han tenido p´erdidas en este mes. Un analista
econ´omico de la zona establece que la proporci´on de comercios en la zona
con p´erdidas es igual o superior a 0.35. Contraste dicha hip´otesis a un nivel
de significaci´on del 5 %.
El contraste de una cola establece las hip´otesis:

H0 : p ≥ 0,35

frente a la alternativa

H1 : p < 0,35

La proporci´on en la muestra, p, de comercios con p´erdidas es:

p = 27

105 = 0,26

q = 1 − p = 0,74

El cuantil −zα correspondiente al nivel de significaci´on 0.05 es igual a
−zα = −1,65
El valor del estad´ıstico de contraste es

zc =p − p0�

p0×q0

n
= 0,26 − 0,35
�

0,35×0,65

105
= −1,93

Gr´aficamente tenemos

7

−6

−4

−2

0

2

4

6

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

Z

Densidad

Distribución normal estandarizada

Contraste de una cola

−1.64−1.93

GG

0.95

RECHAZO

ACEPTO

8