Rasyonel Sayılar

​Sayı doğrusunda tam sayıların eşleştiği iki noktanın arasında sonsuz başka nokta bulunmaktadır. Bu noktalar daha önce öğrendiğimiz hiç bir sayıya benzememektedir. Tam sayıların karşılık geldiği noktalara ve tam sayıların karşılık gelmediği diğer bütün noktalara karşılık gelen sayılara rasyonel sayılar denir.

​a herhangi bir tam sayı ve b sıfırdan farklı bir tam sayı olmak üzere a/b biçiminde yazılabilen sayılara rasyonel sayılar denir. Rasyonel sayılar “Q” sembolü ile gösterilir.

​NOT: Her sayma sayısı, her doğal sayı ve her tam sayı aynı zamanda bir rasyonel sayıdır. Çünkü bu sayıların hepsinin altına gizli bir 1 yazarsak hem değerleri değişmez hem de rasyonel sayı olarak ifade etmiş oluruz. Yani rasyonel sayılar şimdiye kadar öğrenmiş olduğumuz en büyük (en çok üyesi olan) sayı kümesidir.

​Sıfırdan büyük rasyonel sayılara pozitif rasyonel sayılar, sıfırdan küçük rasyonel sayılara ise negatif rasyonel sayılar denir. o (sıfır) pozitif ya da negatif olmayan bir rasyonel sayıdır. Pozitif rasyonel sayılar, negatif rasyonel sayılar ve 0’ın bir araya gelmesi ile rasyonel sayılar kümesi oluşur.

​

1/2,+4/3,+5/7 gibi sayılar pozitif rasyonel sayılardır.

 −5/5,−7/8,4/−2 gibi sayılar negatif rasyonel sayılardır.

• NOT: Negatif rasyonel sayılarda eksi işareti payın önünde de bulunabilir, kesir çizgisinin önünde de bulunabilir, paydanın önünde de bulunabilir. Hepsi aynı anlama gelir. −2/3=−2/3=2/−3

• NOT: Rasyonel sayıların paydası hiç bir zaman 0 (sıfır) olamaz. Eğer sıfır olursa bu durumda ifade tanımsız olur. 3/0,−7/0,0/0 ifadelerinin paydaları sıfır olduğundan bu ifadeler tanımsızdır, rasyonel sayı değildir.

Kesirlerde toplama ve çıkarma işlemi yaparken payda eşitleniyordu. Aynı durum rasyonel sayılarda işlem yaparken de geçerli.

​

ÖRNEK: 3/2+ (−1/4)işlemini yapalım.

Önce paydalar eşitlenir: 3/2(2)+ (−1/4)(1)=6/4+(−1/4)

paydalar eşitlendikten sonra paydaki sayılar toplanır ve paya yazılır.Ortak payda sonucun paydasına yazılarak sonuç bulunur.

6/4+(−1/4)=6+(−1)/4=5/4 elde edilir.

​

​

​

Çıkarma işleminde de tam sayılarda olduğu gibi toplamaya dönüştürerek yapabiliriz.

Önce paydalar eşit değilse paydalar eşitlenir. Sonra çıkarma işlemi toplamaya dönüştürülür ve çıkan sayının işareti değiştirilir. En son olarak da toplama işlemi yapılır.

​

ÖRNEK: −3/5−(−1/5) işleminin sonucunu bulalım.

Paydalar eşit olduğu için payda eşitleme işlemi yapmıyoruz. Çıkarma işlemini toplamaya dönüştürürüz ve çıkan sayının işaretini değiştiririz.

−3/5−(−1/5)=−3/5 ++ 1/5elde edilir.

Daha sonra toplama işleminde yaptığımız gibi ortak paydayı sonucun paydasına yazarız. Payları toplayıp sonucun payına yazarız.

−3/5+1/5=−2/5 bulunur.

​

• Rasyonel sayılarda çarpma işlemi şunlara dikkat edilir:

• ∇ Çarpılan sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.

• ∇ Çarpılan sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.

• ∇ Varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.

• İşlem yapılırken:

• ∇ Çarpanlardaki paylar çarpılıp sonucun payına, paydalar çarpılıp sonucun paydasına yazılır.

​

Ters çevirip çarpma yönteminde birbirine bölünen iki kesirden ilk (yani bölünen) kesir aynen yazılır, ikinci kesir (yani bölen) kesir ters çevrilerek ilk kesirle çarpılır. (çarpma işlemine göre ters çevirme). Bu aşamadan sonra Rasyonel sayılarda çarpma işleminde öğrendiğimiz şekilde çarpmayı yaparız.

Bölme işleminde şunlara da dikkat etmeliyiz:

∇ Bölünen sayılarda tam sayılı kesir varsa bileşik kesre çevrilir.

∇ Bölünen sayılarda tam sayı varsa paydasına 1 yazılır.

∇ Çarpmaya dönüştürdükten sonra varsa sadeleştirme yapılır. Sadeleştirme yaparken çarpılan sayılarda paydaki herhangi bir sayı ile paydadaki herhangi bir sayı sadeleştirilebilir.