Sean V y W espacios vectoriales reales.

Una transformación lineal T de V en W es una función que asigna a cada vector v en V un vector único Tv en W y que satisface, para cada u y v en V y cada escalar k

​

• T(u+v)=Tu + Tv

• T(kv)=kTv​

​

​Transformaciones lineales

​

 Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal.

•La imagen del vector cero de V es el vector cero de W.

•Preserva la suma vectorial y la multiplicación por escalar, es decir, preserva las combinaciones lineales ( la imagen de una combinación lineal es la combinación lineal de las imágenes).

​

Propiedades de las transformaciones lineales

​

 Al  no  cumplir  cualquiera  de  estas  condiciones  no  se  trata  de  una  transformación  lineal

Núcleo e imagen de una transformación lineal.

Sean V y W dos espacios vectoriales y sea T: V -> W una transformación lineal. Entonces​

• El núcleo de T, denotado por nu T, está dado por

nu T={v en V: Tv=0}

• La imagen de T, denotado por Im T, está dado por

Im T= {w en W: w =Tv para

alguna v en V}​

El núcleo o kernel está formado por todos los vectores en V que la transformación T lleva al vector cero en W.

La imagen de T, son todos los vectores en W que son imágenes de al gún vector en V. Es decir, es el recorrido de la función T.​

​Teorema

Si T: V->W es una transformación lineal, entonces

nu T es un subespacio de V

Im T es un subespacio de W​

​

La nulidad de T es dimensión del​ núcleo de T.

El ​rango de T es la dimensión de la imagen de T.

​

​

​

Representación matricial de una transformación lineal.

Toda transformación lineal entre espacios vectoriales de dimensión finita se puede representar por una matriz. Dicha matriz se denomina matriz de transformación.

​

Sea T: Rⁿ->R^m una transformación lineal. Existe una única matriz mxn , A_T tal que

Tv = A_Tv para toda v en Rⁿ

​

​

Los vectores columna de A_T son las imágenes de los vectores que forman una base para V.

Ejemplo

Replace this with your body text.

​Duplicate this text as many times as you would like.

​

​Some text here about the topic of discussion.

​Replace this with a header

Replace this text with your body text.

​Duplicate this text as many times as you would like.

​Subheader text

Replace this text with your body text.

​Duplicate this text as many times as you would like.

Ejemplo

Replace this with a header

Some text here about the topic of discussion