¿Qué es una expresión algebraica?

Cambias números por letras

​El álgebra elemental postula distintas leyes que permiten conocer las diferentes propiedades que poseen las operaciones aritméticas. Por ejemplo, la adición (a + b) es conmutativa (a + b = b + a), asociativa, tiene una operación inversa (la sustracción) y posee un elemento neutro (0).

​La palabra álgebra proviene del árabeالجبر³​ y cálculo de datos⁶​ del título del libro de principios del siglo IX, ^cIlm al-jabr wa l-muqābala, La ciencia del restablecimiento y el equilibrio, por el matemático y astrónomo Persa Muḥammad ibn Mūsā al-Khwārizmī. En su obra, el término al-jabr se refería a la operación de mover un término de un lado de una ecuación al otro, المقابلة al-muqābala "equilibrar" se refería a añadir términos iguales a ambos lados. Acortada a simplemente algeber o álgebra en latín, la palabra acabó entrando en la lengua inglesa durante el siglo XV, ya sea desde el español, el italiano o el latín medieval. Originalmente, se refería al procedimiento quirúrgico de fijar huesos rotos o dislocados. El significado matemático se registró por primera vez (en inglés) en el siglo XVI.⁷​

​El adjetivo «algebraico» denota usualmente una relación con el álgebra, como por ejemplo en estructura algebraica. Por razones históricas, también puede indicar una relación con las soluciones de ecuaciones polinomiales, números algebraicos, extensión algebraica o expresión algebraica. Conviene distinguir entre:

-​Álgebra elemental es la parte del álgebra que se enseña generalmente en los cursos de matemáticas.

-​Álgebra abstracta es el nombre dado al estudio de las «estructuras algebraicas» propiamente.

​El álgebra usualmente se basa en estudiar las combinaciones de cadenas finitas de signos y, mientras que análisis matemático requiere estudiar límites y sucesiones de una cantidad infinita de elementos.

​Las raíces del álgebra pueden rastrearse hasta la antigua matemática babilónica,¹¹​ que había desarrollado un avanzado sistema aritmético con el que fueron capaces de hacer cálculos en una forma algorítmica. Con el uso de este sistema lograron encontrar fórmulas y soluciones para resolver problemas que hoy en día suelen resolverse mediante ecuaciones lineales, ecuaciones de segundo grado y ecuaciones indeterminadas. En contraste, la mayoría de los egipcios de esta época, y la mayoría de los matemáticos griegos y chinos del primer milenio antes de Cristo, normalmente resolvían tales ecuaciones por métodos geométricos, tales como los descritos en el Papiro de Rhind, Los Elementos de Euclides y Los nueve capítulos sobre el arte matemático.

​Los matemáticos de la Antigua Grecia introdujeron una importante transformación al crear un álgebra de tipo geométrico, en donde los «términos» eran representados mediante los «lados de objetos geométricos», usualmente líneas a las cuales asociaban letras.¹⁰​ Los matemáticos helénicos Herón de Alejandría y Diofanto¹²​ así como también los matemáticos indios como Brahmagupta, siguieron las tradiciones de Egipto y Babilonia, si bien la Arithmetica de Diofanto y el Brahmasphutasiddhanta de Brahmagupta se hallan a un nivel de desarrollo mucho más alto.¹³​ Por ejemplo, la primera solución aritmética completa (incluyendo al cero y soluciones negativas) para las ecuaciones cuadráticas fue descrita por Brahmagupta en su libro Brahmasphutasiddhanta. Más tarde, los matemáticos árabes y musulmanes desarrollarían métodos algebraicos a un grado mucho mayor de sofisticación.

​Diofanto (siglo III d. C.), algunas veces llamado «el pádre del álgebra», fue un matemático alejandrino, autor de una serie de libros intitulados Arithmetica. Estos textos tratan de las soluciones a las ecuaciones algebraicas.¹⁴​

Algunas áreas de las matemáticas que entran en la clasificación de álgebra abstracta tienen la palabra álgebra en su nombre; el álgebra lineal es un ejemplo. Otras no: La teoría de grupos, la teoría de anillos y la teoría de campos son ejemplos. En esta sección, enumeramos algunas áreas de las matemáticas con la palabra "álgebra" en el nombre.

• Álgebra elemental, la parte del álgebra que se suele enseñar en los cursos elementales de matemáticas.

• Álgebra abstracta, en la que se definen e investigan las estructuras algebraicas como grupos, anillos y campos.

• Álgebra lineal, en la que se estudian las propiedades específicas de las ecuaciones lineales, los espacios vectoriales y las matrices.

• Álgebra de Boole, una rama del álgebra que abstrae el cálculo con los valor de verdades falso y verdadero.

​Álgebra conmutativa, el estudio de los anillos conmutativos.

• Álgebra computacional, la implementación de métodos algebraicos como algoritmos y programas de ordenador.

• Álgebra homológica, el estudio de las estructuras algebraicas fundamentales para el estudio de los espacios topológicos.

• Álgebra universal, en la que se estudian propiedades comunes a todas las estructuras algebraicas.

• Teoría de números algebraicos, en la que se estudian las propiedades de los números desde un punto de vista algebraico.

• Geometría algebraica, una rama de la geometría, que en su forma primitiva especifica las curvas y superficies como soluciones de ecuaciones polinómicas.

• Combinatoria algebraica, en la que se utilizan métodos algebraicos para estudiar cuestiones combinatorias.

• Álgebra relacional: conjunto de relaciones finitas que son cerradas bajo ciertos operadores.

Muchas estructuras matemáticas se llaman álgebras:

• Álgebra sobre un cuerpo o más generalmente álgebra sobre un anillo. Muchas clases de álgebras sobre un campo o sobre un anillo tienen un nombre específico:

  • Álgebra asociativa

  • Álgebra no asociativa

  • Álgebra de Lie

  • Álgebra de Hopf

  • C*-álgebra

  • Álgebra simétrica

  • Álgebra exterior

  • Álgebra tensorial​

​En teoría de la medida,

• σ-álgebra

• Álgebra sobre un conjunto

• En teoría de categorías

  • Álgebra F y co-álgebra F

  • Álgebra T

• En lógica,

  • Álgebra de relación, un álgebra booleana residuada expandida con una involución llamada conversa.

  • Álgebra booleana, un complementado del Retículo distributivo.

  • Álgebra de Heyting

​Notación algebraica

​Consiste en que los números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras se emplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Las cantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidades desconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z.¹⁷​

Los signos empleados en álgebra son tres clases: Signos de operación, signos de relación y signos de agrupación.¹⁷​

​Signos en operación

​En álgebra se verifican con las cantidades las mismas operaciones que en aritmética: suma, resta, multiplicación, elevación a potencias y extracción de raíces, que se indican con los principales signos de aritmética excepto el signo de multiplicación. En lugar del signo × suele emplearse un punto entre los factores y también se indica a la multiplicación colocando los factores entre paréntesis. Así a⋅b y (a)(b) equivale a a × b.

Signos relación

Se emplean estos signos para indicar la relación que existe entre dos cantidades. Los principales son:

• =, que se lee igual a. Así, a=b se lee “a igual a b”.

• >, que se lee mayor que. Así, x + y > m se lee “x + y mayor que m”.

• <, que se lee menor que. Así, a < b + c se lee “a menor que b + c”.​

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​Signos agrupación

​Los signos de agrupación son: los paréntesis o paréntesis ordinarios ( ), los corchetes o paréntesis angulares o paréntesis rectangulares [ ], las llaves { }, y la barra o vínculo | |. Estos signos indican que la operación colocada entre ellos debe efectuarse primero. Así, (a + b)c índica que el resultado de la suma a y b debe multiplicarse por c; [a – b]m indica que la diferencia entre a y b debe multiplicarse por m, {a + b} ÷ {c – d} índica que la suma de a y b debe dividirse entre la diferencia de c y d. El orden de estos signos son de la siguiente forma | { [ ( ) ] } |, por ejemplo: | { [ (a + b) – c ] × d } ÷ e | indica que al resultado de la suma de a + b debe restarse c, luego el resultado de la resta debe multiplicarse por d, y al final el resultado de la multiplicación debe dividirse entre e.