Adunarea numerelor naturale

a + b = s

​Numerele a și b se numesc termenii adunării, iar rezultatul adunării poartă numele de sumă.

Scrierea a + b se numește sumă neefectuată, iar s este suma efectuată.

​Adunarea reprezintă, de fapt, o numărare succesivă. De exemplu, pentru a aduna pe 5 cu 3 vom număra, în șirul numerelor naturale, încă 3 numere Proprietățile adunării numerelor naturalepornind de la 5:

0 1 2 3 4 5 → 6 → 7 → 8 9 10 …

La fel, a aduna pe 3 cu 5 înseamnă a număra, în șirul numerelor naturale, 5 numere pornind de la 3:

0 1 2 3 4 5 → 6 → 7 → 8 9 10 …

Privind adunarea ca pe o numărare succesivă, din exemplul prezentat mai sus constatăm că are loc relația 5 + 3 = 3 + 5 sau, altfel spus, că suma a două numere naturale este aceeași, indiferent de ordinea termenilor. Pentru a evidenția și alte reguli care se respectă atunci când efectuăm operația de adunare, vom analiza câteva probleme practice.

​

În drumul spre școală, Vlad trece în fiecare zi să o ia și pe colega lui de bancă, Dina. La terminarea cursurilor, Vlad se întoarce pe același drum, lăsând-o pe Dina acasă la ea. De la casa lui Vlad până la casa Dinei sunt 250 m, iar de la casa Dinei până la școală sunt 450 m.​

​Suma a două numere naturale este aceeași, indiferent de ordinea în care apar cei doi termeni. Această proprietate a adunării se numește comutativitate.

​

​a + b = b + a pentru orice numere naturale a si b.

​Când adunăm trei numere naturale, se obține același rezultat fie că adunăm mai întâi primele două numere și apoi adunăm suma obținută cu al treilea număr, fie că adunăm primul număr la suma ultimelor două. Această proprietate a adunării se numește asociativitate.

​

​

​(a + b) +c = a + (b + c) pentru orice numere naturale a,b si c.

​Teorema:

Pentru orice număr natural n ≥ 1 are loc egalitatea:

1 + 2 + … + n = n ⋅ (n + 1) : 2.

Demonstrație: Notând cu S suma primelor n numere naturale nenule, avem:

S = 1 + 2 + 3 + … + (n - 1) + n

S = n + (n - 1) + (n - 2) + … + 2 + 1

​

Adunând membru cu membru cele două relații, obținem:

2S = (1 + n) + (2 + n – 1) + (3 + n – 2) + … + (n – 1 + 2) + (n + 1),

adică 2S = (n + 1) + (n + 1) + ... +(n + 1) = (n + 1) , de unde rezultă: S = n(n + 1) : 2.

​