Sudut Antara Dua Vektor

pada pembahasan sebelumnya, telah dipelajari bahwa :  $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\ \cos\ \theta$  

dengan  $\theta=\angle\left(\overrightarrow{a},\ \overrightarrow{b}\right)$ dan $\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z$  

maka :  $\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|\ \cos\ \theta=p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z$  

 $\Longleftrightarrow\cos\ \theta=\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}$  

 $\cos\ \theta=\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\sqrt{\left(p^2+q^2+r^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}}$  

 $\ \theta=\cos^{-1}\left[\frac{p\cdot x+q\cdot y+r\cdot z}{\sqrt{\left(p^2+q^2+r^2\right)\left(x^2+y^2+z^2\right)}}\right]$  

Ingat Rumusnya :   $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}}{\left|\overrightarrow{a}\right|\cdot\left|\overrightarrow{b}\right|}\right]$  

 $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{2\cdot2\ +\ \left(-2\right)\cdot3\ \ +\ 1\cdot6}{\sqrt{\left(2^2+\left(-2\right)^2+1^2\right)}\cdot\sqrt{\left(2^2+3^2+6^2\right)}}\right]$  

 $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4-6+6}{\sqrt{9}\cdot\sqrt{49}}\right]\Longleftrightarrow\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4}{3\cdot7}\right]$  

 $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{4}{21}\right]\Longleftrightarrow\ \theta\approx79\degree$  (Menggunakan kalkulator/tabel)

Pembahasan:  $\overrightarrow{QP}=P-Q=\left(5-4,\ 7-7,\ -5-\left(-3\right)\right)=\left(1,\ 0,\ -2\right)$   $\overrightarrow{QR}=R-Q=\left(2-4,\ 7-7,\ -4-\left(-3\right)\right)=\left(-2,\ 0,\ -1\right)$  

 $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=1\cdot\left(-2\right)+0\cdot0+\left(-2\right)\cdot\left(-1\right)$   $\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}=-2+0+2\ \Longleftrightarrow\ \overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}\ =0$  

 $\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{1^2+0^2+\left(-2\right)^2}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{1+0+4}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QP}\right|=\sqrt{5}$   $\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{\left(-2\right)^2+0^2+\left(-1\right)^2}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{4+0+1}\Longleftrightarrow\left|\overrightarrow{QR}\right|=\sqrt{5}$  

 $\theta=\cos^{-1}\left[\frac{\overrightarrow{QP}\cdot\overrightarrow{QR}}{\left|\overrightarrow{QP}\right|\cdot\left|\overrightarrow{QR}\right|}\right]=\cos^{-1}\left[\frac{0}{\sqrt{5}\cdot\sqrt{5}}\right]=\cos^{-1}\left[0\right]\Longleftrightarrow\ \theta=90\degree$ Jadi besar sudut antara vektor  $\overrightarrow{QP}\ dan\ \overrightarrow{QR}$  adalah  $90\degree$