Jueves 22 abril, variables separables.

¿Cuál es la  $M$  ?

¿Cuál es la  $N$  ?

¿Cuál es el cambio de variable?

Sustituyendo en el lado izquierdo.

Sustituyendo en el lado derecho.

Simplificando.

El cambio fue  $y=xu$  

Sustituyendo en la izquierda:

 $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2+x^2u}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

Simplificando:

 $\left(x^3+x^2u^2\sqrt{x^2\left(1+u^2\right)}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

 $\left(x^3+x^2u^2x\sqrt{1+u^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

 $\left(x^3+x^3u^2\sqrt{1+u^2}\right)dx=\cdots\ \cdots$  

 $x^3dx\ +\ x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx=\cdots\ \cdots$  

Con el cambio  $y=xu$  

El lado izquierdo ya quedó:

 $x^3dx+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx=xy\sqrt{x^2+y^2}dy$  

Vamos a sustituir en la derecha.

 $x\left(xu\right)\sqrt{x^2+x^2u^2}\left(xdu+udx\right)$  

 $x^2u\sqrt{x^2\left(1+u^2\right)}\left(xdu+udx\right)$  

 $x^2ux\sqrt{1+u^2}\left(xdu+udx\right)$  

 $x^3u\sqrt{1+u^2}\left(xdu+udx\right)$  

 $x^4u\sqrt{1+u^2}du+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

Izquierda:  $x^3dx+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

Derecha:  $x^4u\sqrt{1+u^2}du+x^3u^2\sqrt{1+u^2}dx$  

¿Podemos simplificar?

 $\ln x+\ln c=\frac{\left(1+u^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$  

 $3\ln\left(xc\right)=\left(1+u^2\right)^{\frac{3}{2}}$  

 $3\ln\left(xc\right)=\left(1+\frac{y^2}{x^2}\right)^{\frac{3}{2}}$