VECTORES #3

Observe los puntos P y Q. (extremos del vector  $\overrightarrow{PQ}$ )

Sea:  $\overrightarrow{OQ}=\overrightarrow{OP}+\overrightarrow{PQ}\ \left(suma\ de\ vectores\right)$ 

Despejando  $\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{OP}-\overrightarrow{OQ}$  

Luego las coordenadas de P son  $\left(p_1,\ p_2\right)$  y de Q son  $\left(q_1,\ q_2\right)$  

Luego: $\overrightarrow{PQ}=\left(q_1\overrightarrow{i}+q_2\overrightarrow{j}\right)-\left(p_1\overrightarrow{i}+p_2\overrightarrow{j}\right)$ 

Entonces:  $\overrightarrow{PQ}=\left(q_1-p_1\right)\overrightarrow{i}+\left(q_2-p_2\right)\overrightarrow{j}$  

En conclusión, para obtener las coordenadas de un vectore determinado por dos puntos, restamos las respectivas coordenadas del extremo son sus respectivas coordenadas del origen.

Dados los vectores  $\overrightarrow{u}\ y\ \overrightarrow{v}$   en la base  $B=\left\{\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}\right\}$   realizamos los siguiente:

Para la suma:  $\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}=\left(u_1+v_1,\ u_2+v_2\right)$  

Para la resta:  $\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}=\left(u_1-v_1,\ u_2-v_2\right)$  

Se define de la siguiente manera:  $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|\cdot\cos\left(\alpha\right)$   donde  $\alpha$  es el ángulo menor que forman los dos vectores.

Para una base ortonormal consideremos los vectores  $\overrightarrow{u}\ y\ \overrightarrow{v}$    $B=\left\{\overrightarrow{i},\ \overrightarrow{j}\right\}\$  ; es decir  $\overrightarrow{u}=u_1\overrightarrow{i}+u_2\overrightarrow{j\ }\ \ y\ \ \overrightarrow{v}=v_1\overrightarrow{i}+v_2\overrightarrow{j}$ 

Como B es ortonormal,  $\overrightarrow{i}\cdot\overrightarrow{j}=\overrightarrow{j}\cdot\overrightarrow{i}=0$  y  $\left|\overrightarrow{i}\right|=\left|\overrightarrow{j}\right|=1$  ; es decir,  $\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}=u_1v_1+u_2v_2$  

Sean los vectores: $\overrightarrow{u}=\left(u_1,\ u_2\right)\ \ y\ \ \ \overrightarrow{v}=\left(v_1,\ v_2\right)$  

Módulo de un vector:  $\left|\overrightarrow{u}\right|=\sqrt{u_1^2+u_2^2}$  

Ángulo entre vectores:  $\cos\left(\overrightarrow{u},\ \overrightarrow{v}\right)=\frac{u_1v_1+u_2v_2}{\sqrt{u_1^2+u_2^2}\cdot\sqrt{v_1^2+v_2^2}}$  

 $\alpha=arc\ \cos\left(\frac{\overrightarrow{u}\cdot\overrightarrow{v}}{\left|\overrightarrow{u}\right|\cdot\left|\overrightarrow{v}\right|}\right)$