Aritmetičk niz

Ako ste napisali 5, 7, 9, 11, 13 odgovorili ste tačno. Možete li da uočite pravilo po kojem se ređaju članovi ovog niza?

Ako ste napisali 11, 8, 5, 2, -1 odgovorili ste tačno. Možete li da uočite pravilo po kojem se ređaju članovi ovog niza?

Primetili ste da je razlika između svaka dva susedna člana niza jednaka. U prvom slučaju svaki član je veći za dva od prethodnog, a u drugom svaki član je manji za 3 od prethodnog.

Nizovi brojeva koji imaju svojstva zadatih nizova su aritmetički nizovi. 

Niz brojeva, kod koga je razlika između bilo kog člana (počev od drugog) i njemu prethodnog člana konstantna (stalna), je aritmetički niz. Broj kojem su jednake sve te razlike je razlika (diferencija) tog niza i označava se slovom

Razlika aritmetičkog niza se dobija po pravilu

Ako uzmemo da je x1 prvi član niza, a d razlika niza, onda članove aritmetičkog niza možemo zapisati na sledeći način:

 $x_n=x_1+\left(n-1\right)d$ 

je formula za opšti član aritmetičkog niza, na osnovu prethodno navedenog zapisa članova niza.

 $x_1$  je prvi član aritmetičkog niza, a d je razlika aritmetičkog niza. n predstavlja redni broj člana u nizu.

Niz nosi naziv aritmetički jer mu je svaki član, počeve od drugog, jednak aritmetičkoj sredini prethodnika i sledbenika, i ne samo njih već i svih članova ispred i iza koji se nalaze na jednakoj udaljenosti od posmatranog člana.

 $6=a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=\frac{2+10}{2}$ 

 $10=a_3=\frac{a_2+a_4}{2}=\frac{6+14}{2}$  ili

 $10=a_3=\frac{a_1+a_5}{2}=\frac{2+18}{2}$  ili

 $10=a_3=\frac{a_1+a_2+a_4+a_5}{4}=\frac{2+6+14+18}{4}$  

 $a_n=\frac{a_{n+p}+a_{n-p}}{2}.$ 

 $a_{n+p\ }$  i  $a_{n-p}$  nazivamo simetrični članovi.

 $x=a,\ y=a+d,\ z=a+2d$ 
ili
 $x=a-d,\ y=a,\ z=a+d$ 
ili
 $x=a-2d,\ y=a-d,\ z=a$  

Zamislite da smo rekli da saberete sve članove doo broja 9999! Ili još više! Definitivno postoji jednostavniji i kraći način da se sabere prvih n članova aritmetičkog niza.

 $S_n=\frac{n}{2}\left(a_1+a_n\right)$   ili   $S_n=\frac{n}{2}\left(2a_1+\left(n-1\right)d\right)$  .

Indeks n u oznaci za sumu označava ukupan broj članova aritmetičkog niza koji se sabira.

Koji od ovih obrazaca ćete upotrebiti zavisi od poznatih veličina niza.