DERIVADAS 12°

¡Se trata de pendientes!

Recordemos

 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{Cambio\ en\ y}{Cambio\ en\ x}$  

Se puede encontrar una pendiente media entre dos puntos.

Pero, ¿Cómo encontrar la pendiente en un punto?

Pero con las derivadas se usa una pequeña diferencia... que luego hacemos que se reduzca a cero.

Para encontrar la derivada de una función usamos la fórmula de la pendiente: $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}$  

En el diagrama vemos los cambios así:

Geométricamente, la derivada de una función $f\left(x\right)$  en un punto dado  $a$  es la pendiente de la recta tangente a $f\left(x\right)$  en el punto $a$ 

Sustituyendo en la fórmula de pendiente:

 $m=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}$  

 Finalmente se debe hacer que
 $\Delta x$  tienda a cero. 

Así, la pendiente de la curva y=f(x) en un punto P es el número:

 $m=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)$  

Donde $h=\Delta x\ y\ tiende\ a\ 0$  

"La derivada de f es igual a el límite cuando Δx tiende a cero de f(x+Δx) - f(x) sobre Δx"
 $y'=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+\Delta x\right)-f\left(x\right)}{\Delta x}\right)$  
 $f'\left(x\right)=y'=\frac{dy}{dx}$ 

1. Calcular $f\left(x\right)$  y $f\left(x+h\right)$  

2. Calcular la pendiente  $m=\lim_{h\rightarrow0}\left(\frac{f\left(x+h\right)-f\left(x\right)}{h}\right)$  

Encontrar la ecuación de la recta tangente a $f\left(x\right)=x^2+1\$  en el punto  $\left(2,\ 5\right)$ 

Ir al Idroo para ver el solución. 

Hay reglas que podemos seguir para encontrar muchas derivadas.

Por ejemplo:

La pendiente de un valor constante (como 3) siempre es 0

La pendiente de una línea como 2x es 2, o 3x es 3, etc. y así.

Se debe escribir como potencia y derivar de igual forma