test2

определение:

Нека A=(aij)n×k и B=(bij)n×k са две матрици от еднакъв размер с елементи от полето F. Сумата на матриците C=A+B∈Mn×k(F):

е равна на:

A+B=(aij)+(bij)=(aij+bij)

св-ва:

1. A+B= B+A-комуникативно

2. (A+B)+C=A+(B+C)-асоциативно

3.А+0=А, където 0 е нълевата матрица

4.А+(-А)=0, където -А е полуяена като се сменят знаците на А

Нека А=(аij) e Mnxk (F) тогава произведението на матрицата А по скалар ЛеF е равно на следната матрица, която има същия размер:
ЛА=(Лaij)nxk
основни св-ва:
ако А, В е Mnxk (F) са матрици->
1. 1еF1.A=A
2.(-1)A=-A

3.(Л+У)А=ЛА+УА, VЛ,У еV
4.Л (A+B)=ЛА+ЛВ
5.Л(УА)=(ЛУ)А

Нека А =(aij) e k x n е матрица, тогава транспонирана на матрицата А е n x k матрица B=A^t, която се получава по следния начин bji=aij; т.е. матрицата , "симетрична относно главния диагонал"

С-ва:

нека F e поле и A, B eMnxk (F) ->
1.(А^t)^t=A;
2.(ЛA)^t=ЛA^t;

3.(A+B)^t=A^t+B^t

2. 
   Нека F е поле и са дадени матриците А=(аij)eMsxk (F) и B=(bij)eMkxn (F) . Матрицата C=(cij)=A.BeMsxn (F) е произведение на матрицата А умножена по В, когато за i=1,...,s и j=1,...,n е зипълнено:

k
cij=ai1.b1j+ai2.b2j+...+aik.bkj=∑aitbtj.

t=1
с-ва (В общия случай):

1.А.B!=B.A;
2.A(B1+B2)=A.B1+A.B2

3.(A1+A2).B=A1.B+A2.B
4.Л(A.B)=(ЛA).B=A(ЛB)
5.En.A=A.Ek=A, където Ek е единичната kxk матрица и En e Mnxn (F) - единична матрица
асоциативност на умножението на матрици:
Нека  A=(aij)∈Mn×k(F),
B=(bij)∈Mk×s(F)  и C=(cij)∈Ms×m(F)  са матрици, които е възможно да се умножат една след друга, тогава е изпълнено

A.(B.C)=(A.B).C

Нека A∈Mn×n(F) е квадратна матрица и k∈N, матрицата A повдигната на степен k e равно на    

A^k=A.….A
(k пъти)
св-ва:

1. 1.А^k.A^s=A^(k+s)

2. 2. (A^k)^s=A^(k*s)

3( A.B)^k!=A^kB^k

 Нека  A=(aij)∈Mn×k(F)  и  B=(bij)∈Mk×s(F) са матрици, които могат да бъдат умножени,   тогава е изпълнено

(A.B)^t=B^tA^t.